Cтраница 1
Конечная гладкость ( г ос) в теореме 1 очень существенна. [1]
Если система имеет конечную гладкость ( или даже бесконечную, но не аналитична), то столь длительного затягивания потери устойчивости, вообще говоря, не будет. Если & со, тс уход за границу устойчивости остается меньшим, чем М ( е) / е In е, где Ж ( е) - н-со, е-н-0, но М ( е) может возрастать сколь угодно медленно. [2]
Но следует сказать, что многие принципиальные вопросы об е-энтропии функционалов конечной гладкости и аналитических функционалов еще ждут своего решения. [3]
Следует иметь в виду, что аналитическая система дифференциальных уравнений может иметь векторные поля симметрии конечной гладкости. [4]
Если & ( х) в (34.5) или а ( х) в (34.9) обладают лишь конечной гладкостью, то промежуток допустимых s ограничен сверху. Например, если е ( х) е С 0) ( G), сг ( л) е е С ( 2) ( Г), то можно взять только s 0, а утверждения о гладкости теряют силу. [5]
Однако если а достаточно точно приближается рациональными числами, то уравнение (1.3) может иметь периодические решения лишь конечной гладкости или ие иметь их вовсе. [6]
В случае ( г) уравнения Эйлера - Пуанкаре имеют интегральный инвариант, в случае ( б) нет интегрального инварианта, однако имеется инвариантная мера с плотностью любой конечной гладкости, в случаях ( а) и ( в) нет инвариантной меры с суммируемой плотностью. [7]
С другой стороны, утки существуют в системах с конечной гладкостью, а затягивание п.п. 4.1 - 4.6, вообще говоря, только в аналитических. [8]
Заметим, что сепаратрисы седел гладкие. Но при подходе к узлу с двух сторон две сепаратрисы образуют вместе, вообще говоря, кривую лишь конечной гладкости. Таким образом, возникающая инвариантная кривая, вообще говоря, имеет лишь конечную гладкость. [9]
Если отрицательные целые числа не принадлежат спектру оператора А ( 0), то существует единственное бесконечно дифференцируемое решение. В аналогичных предположениях относительно оператора А ( 0) рассмотрены уравнения вида ( 6), в к-рых a ( t) и f ( t) имеют конечную гладкость и такой же гладкостью обладают решения. [10]
Если наше отображение было отображением последования для дифференциального уравнения, то в фазовом трехмерном пространстве инвариантная кривая отображения последования определяет инвариантный тор, сплошь состоящий из фазовых кривых. Тор имеет конечную гладкость, тем большую, чем ближе момент рождения тора из цикла. При изменении параметра в семействе число вращения на торе, вообще говоря, меняется, так что оно принимает то иррациональные, то рациональные значения. [11]
Заметим, что сепаратрисы седел гладкие. Но при подходе к узлу с двух сторон две сепаратрисы образуют вместе, вообще говоря, кривую лишь конечной гладкости. Таким образом, возникающая инвариантная кривая, вообще говоря, имеет лишь конечную гладкость. [12]
В случае когда отображение / не взаимно однозначно, величину hh ( fnak) следует вычислять, конечно, с учетом кратности. Оговорка о типичности симплекса перед неравенством ( 6) очень существенна. Как заметил Г. А. Маргулис, без этой оговорки неравенство ( 6) может не выполняться даже для диффеоморфизмов Морса - Смейла. Правда, в его примерах либо симплекс, либо диффеоморфизм имеет лишь конечную гладкость. [13]
Рассуждение, приводящее к построению Л, при котором сопрягающий гомеоморфизм для рх сингулярен, таково, что число вращения а ( / х) получается чрезвычайно быстро аппроксимирующимися рациональными числами. Опыт, связанный с малыми знаменателями, подсказывает, что подобная аномально быстрая аппроксимация может быть источником, патологии. Поэтому Арнольд выдвинул следующую гипотезу [25]: существует такое множество М полной меры, что для каждого / я е М и каждого сохраняющего ориентацию аналитического диффеоморфизма р: Sl - - S1 с числом вращения ц гомеоморфизм %, сопрягающий ф с поворотом окружности, является аналитическим. В [25] эта гипотеза доказана, грубо говоря, для диффеоморфизмов, достаточно близких к повороту х - х м - позднее были получены аналоги этого результата для конечной гладкости. [14]