Cтраница 1
Линейная гомотопия ( I tds) ( tI du), 0 / И, лежит в классе операторов, для которых выполненьпусло-вия нетеровости, при / 0 получаем оператор вида du и, значит, mdb indao inddu. Оператор du является композицией псевдодифференциального оператора и оператора сдвига и вычисление индекса сводится к классической задаче вычисления индекса псевдодифференциального оператора в сечениях векторного расслоения. [1]
В частности, мы можем предполагать, что линейная гомотопия F z между Fz ophl ( A) и z лежит в К. [2]
Заметим, что мы можем аппроксимировать гомотопию а / такой кусочно линейной гомотопией S /, что COQ Ч - dSit будет гомотопией симплектических форм. [3]
Доказательство почти буквально повторяет доказательство теоремы 7.2.1. Единственной проблемой является построение гомотопии между формальным и настоящим решениями, лежащей в К. Дело в том, что линейная гомотопия может не лежать в К. В общем случае для построения гомотопии в К требуются некоторые дополнительные усилия. Но если К является локальным окрестностным ретрактом, то можно просто сжать линейную гомотопию в К с помощью ретракции. Этот случай достаточен для всех наших дальнейших приложений. [4]
Ключом к решению задачи является тот фа т, что У. Однако именно для этого и служит оператор линейной гомотопии в исчислении внешних дифференциальных форм ( относительно свойств этого оператора см. работу [ 3, гл. [5]
Ко в е / 2-окрестностях точек f ( v) так, чтобы множество f ( К ( 0)) было максимально независимым. Продолжив / линейно на симплексы, мы, очевидно, получим кусочно линейное отображение, связанное с / линейной гомотопией. [6]
При т 2 пространство S X имеет столько же компонент G-связности, сколько их у многообразия X, и теорема сводится к случаю, когда пространство X является G-связным. Тогда в силу следствия 9.5.1 для обратимости символьного оператора 0 - sym b в пространстве L2 ( S X) необходимо, чтобы один из коэффициентов а0 или а был доминирующим. При линейной гомотопии подчиненного коэффициента к нулю условия обратимости символа выполнены и получаем, что либо indfe inda0, либо ind & indai. Но при тп 2 индекс скалярного псевдодифференциального оператора равен нулю [1], откуда вытекает утверждение теоремы. [7]
Это утверждение является почти очевидным следствием теоремы 4.7.4. Мы объясним редукцию в непараметрическом случае, общий случай отличается только обозначениями. Пусть КС V - полиэдр положительной коразмерности такой, как в теореме 4.3.1. В силу теоремы 4.7.2 существуют диффеотопия / гт: V - V и замкнутая форма со G а, сколь угодно С - близкая к со над некоторой окрестностью U полиэдра К - - / г1 ( К) С V. Следовательно, над окрестностью U линейная гомотопия со / между со и со лежит в К. [8]
Доказательство почти буквально повторяет доказательство теоремы 7.2.1. Единственной проблемой является построение гомотопии между формальным и настоящим решениями, лежащей в К. Дело в том, что линейная гомотопия может не лежать в К. В общем случае для построения гомотопии в К требуются некоторые дополнительные усилия. Но если К является локальным окрестностным ретрактом, то можно просто сжать линейную гомотопию в К с помощью ретракции. Этот случай достаточен для всех наших дальнейших приложений. [9]
Пусть е О таково, что е-окрестность компакта f ( S) лежит в Q. Пусть / - кусочно линейное отображение, являющееся продолжением ограничения / на 0-мерный остов. Для любой точки s S найдется вершина в S такая, что / ( в) - / ( в) / ( в) - / ( в) е / 2 и / ( в) - / ( в) е / 2, так что отрезок [ f ( s), f ( s) ] С Q для любой точки s S. Следовательно, линейная гомотопия ft ( s) tf ( s) ( l - t) f ( s) пролегает в Q. Переходя к подразбиению / ( 5), получаем структуру симплициального комплекса. [10]