Алгебра - буль
Cтраница 3
Как указывалось в главе 13, для построения микропроцессорных систем применяют цифровые методы. Математическим аппаратом синтеза цифровых устройств служит алгебра логики, или алгебра Буля ( названа так в честь Джорджа Буля - английского математика XIX в. Символы 0, 1 в алгебре логики характеризуют состояния переменных или состояния их функций, в связи с чем эти символы нельзя рассматривать как арифметические числа. Алгебра логики - алгебра состояний, а не алгебра чисел, и для нее характерны основные действия, отличные от принятых в обычной алгебре действий над числами. Рассмотрим основные законы алгебры логики применительно к электронным устройствам, содержащим логические элементы. [31]
Эти возможности открывают путь для упрощения и минимизации релейных схем. Мы можем алгебраическую интерпретацию такой схемы подвергнуть равносильным преобразованиям, пользуясь достаточно полно разработанным аппаратом алгебры Буля, а затем упрощенный результат, полученный в виде логической формулы, реализовать снова в форме релейной схемы, но уже упрощенной. На этом основаны все вычислительные и управляющие машины, получившие столь значительное распространение в последние годы. Каждая вычислительная операция или выработка команды есть результат определенных логических операций, но вместо человеческого мозга эти операции выполняются при помощи релейных схем, реализованных в машине, что приводит к ускорению вычислений в десятки и сотни тысяч раз. [32]
 |
Схема с диодными связями без смещения. [33] |
Как показано в литературе [1], из таких элементов может быть собрана любая логическая схема, работа которой описывается с помощью алгебры Буля. Функция памяти осуществляется объединением двух элементов НЕ-ИЛИ в схему триггера. Для построения сдвигающих регистров, счетчиков и ряда других узлов вычислительного устройства необходима еще операция сдвига. Как будет показано ниже, эта операция также может осуществляться с помощью рассматриваемых элементов. Таким образом, любой из этих типовых элементов может выполнять все операции, необходимые для построения многих узлов вычислительного устройства. [34]
Ото число называют абсолютной величиной элемента А или его нормой, а саму алгебру Буля в этом случае называют нормированной. В качестве примеров можно привести семейство плоских фигур, принадлежащих квадрату со стороной единица ( сам квадрат играет роль элемента / этой алгебры Буля), где за абсолютную величину или норму фигуры Л принята ее площадь, пли множество всех делителей не делящегося ни на какой квадрат целого числа N ( например, числа 30), где под нормой числа А понимается logNA ( в нашем случае log A); совокупность всех предложений математической логики также можно рассматривать как нормированную алгебру Буля, если условиться считать абсолютную величину ( норму) предложения равной 1, если это предложение истинно, и равной 0, если оно ложно. Примером нормированной алгебры Буля является и та алгебра событий, которая изучалась в § § 1 - 3; здесь роль абсолютной величины или нормы события А играет вероятность р ( А) этого события. [35]
При этом условии равенство хп х справедливо. Нуль в алгебре Буля соответствует отрицанию, единица - утверждению. Следовательно, х 1 означает идет дождь, а у О означает града нет. [36]
Исследованием свойств логических функций занимается математическая логика. Все логические операции в машине выполняются по законам алгебры Буля. [37]
В основу построения схем ЦВМ положена двоичная система счисления. Следовательно, задача построения любого устройства ЦВМ сводится к подбору элементов, реализующих соответствующие функции, и отысканию способа их соединения, при котором устройство будет выполнять заданное преобразование входной информации. Эту задачу решают при помощи алгебры логики, или алгебры Буля. [38]
Проектирование экономичных логических схем осуществляется с помощью специального математического аппарата, значительно облегчающего решение этой задачи. Этот аппарат предложен в середине прошлого века английским математиком Дж. Булем для использования его в формальной логике и называется алгеброй Буля или булевой алгеброй. [39]
Буля допускает полную систему гомоморфизмов на алгебру с двумя элементами 0 1, содержащуюся в любой алгебре Буля. Поэтому для применения леммы достаточно указать хотя бы одну топологическую линейно связную алгебру Буля. Но такая алгебра 5 хорошо известна. Элементами ее являются объединения конечного числа полусегментов вида ( а, Ь ] ( 0 аС Ъ 1), а также пустое множество. [40]
Мы видим, что способ получения логических выражений двух переменных не одинаков для дешифратора на 4 выхода фиг. Это различие возникает потому, что в первом случае полученные логические выражения используются непосредственно, тогда как во втором они комбинируются в новых операциях, инвертирующих также и фазу. Таким образом, нельзя сказать априори, какими должны быть связи, реализуемые на входе дешифратора. Эта задача решается при помощи алгебры Буля. [41]
Алгебра событий, конечно, существенно отличается от алгебры чисел, хотя во многом обнаруживаются аналогии. Последнее неудивительно, поскольку как алгебра чисел, так и алгебра событий имеют общие корни в математической логике. Рождение математической логики во многом связано с идеями знаменитого немецкого ученого ( математика, физика, философа, языковеда) Готфрида Вильгельма Лейбница ( 1646 - 1716), считавшего, что различные рассуждения могут быть в каком-то смысле сведены к механическому выполнению определенных действий по некоторым правилам. Законы алгебры событий, с которыми мы познакомимся в § 8.5, фактически моделируют алгебру Буля. [42]
Страницы: 1 2 3