Cтраница 3
Как и в симметрическом случае, принятое нами определение внешней алгебры страдает тем недостатком, что оно требует деления на факториалы. [31]
А - ассоциативная шгльалгебра (1.2), то, как мы видели в 3.5, она не обязана быть локально нильпотентной, хотя при наличии тождества, как следует из теоремы о высоте (6.4), локальная нильпотентность имеет место. Глобальной нильпотентности может не быть, как показывает пример внешней алгебры от счетного числа переменных. [32]
Очевидно, что Т - подкольцо кольца TL, порожденное элементами поля К и элементами пространства V. Симметрические и внешние алгебры над пространством VL также отождествляются с алгебрами, получающимися из симметрических и внешних алгебр над пространством V после расширения основного поля до поля L ( § б, гл. [33]
Это предложение показывает, что пространство Еп однородных элементов степени п внешней алгебры Е над векторным пространством V изоморфно д-й внешней степени пространства V, определенной у Бурбаки ( Алгебра, гл. Отсюда же легко заключить, что определенная нами внешняя алгебра совпадает ( с точностью до изоморфизма) с внешней алгеброй, определенной Бурбаки ( Алгебра, гл. В частности, можно легко вывести следующий результат. [34]
Его когомологий Нг ( К) называются когомологиями де Рама многообразия X и обозначаются / / Ьзг ( - О - Аналогично внешней алгебре векторного пространства E: A. [35]
СУПЕРМНОГООБРАЗИЕ - обобщение понятия многообразия, п к-ром функции принимают значения в коммутативной супералгебре. U, ЭМ 1) изоморфно ( U, ( 6М С /) ( Х) Л ( К)), где A ( Rm) - внешняя алгебра с m нечетными образующими. Дифференцируемые ( или аналитические) С. [36]
Однако все математики ( кроме Ф. А. Березина [ В ]) проглядели лежавшую под носом естественнейшую точку зрения на все, связанное ( иногда - далеко не очевидным образом) с любой внешней алгеброй. А те физики, которые теперь числятся пионерами и которые писали первые работы по суперсимметриям, и сами даже не очень понимали, что делают. [37]
Собрать полный список комбинаторных лемм, видимо, просто невозможно и здесь мы ограничились частью из них, относящихся к вопросам нильпотентности. Чисто с философской точки зрения очень интересен переход к супералгебрам. По-видимому, А. Р. Кемер впервые открыл, что умножение на внешнюю алгебру хоть и превращает исходную алгебру в супералгебру, но значительно улучшает ее свойства. [38]
Формула ( 3) была опубликована в 1899 А. Пуанкаре ( см. [2]), к-рый рассматривал внешние формы как подинтегральные выражения для образования интегральных инвариантов. Картан ( см. [3]) дал близкое к современному определение внешних форм и внешнего дифференциала ( вначале на пфаффовых формах), подчеркнув связь своей конструкции с внешней алгеброй. [39]
Часть ( б) предложения распространяется на произведение трех или более сомножителей. В частности, действие группы GL ( V) на тензорной алгебре Z ( V) как группы автоморфизмов ( алгебры) имеет в качестве ин-финитезимального аналога действие алгебры Ли 01 ( 1 /) на Z ( V) как алгебры Ли дифференцирований. Поскольку GL ( V) оставляет инвариантным идеал алгебры. У), по которому надо профакторизовать, чтобы получить внешнюю алгебру Л1 / (1.8), то мы получаем аналогичные действия группы GL ( V) и алгебры Ли gl ( V) на внешней алгебре. [40]
Часть ( б) предложения распространяется на произведение трех или более сомножителей. В частности, действие группы GL ( V) на тензорной алгебре Z ( V) как группы автоморфизмов ( алгебры) имеет в качестве ин-финитезимального аналога действие алгебры Ли 01 ( 1 /) на Z ( V) как алгебры Ли дифференцирований. Поскольку GL ( V) оставляет инвариантным идеал алгебры. У), по которому надо профакторизовать, чтобы получить внешнюю алгебру Л1 / (1.8), то мы получаем аналогичные действия группы GL ( V) и алгебры Ли gl ( V) на внешней алгебре. [41]
Алгебра Я ( С7, А) из примера 4) была впервые рассмотрена X. Хонфом [1], показавшим, что она является внешней алгеброй с образующими нечетных степеней, если А - ноле характеристики 0 и 1I ( G, К) конечномерна. Алгебра А разлагается is тензорное произведение алгебр с одной образующей х и соотношением х - О, где при р - - 2 s - степень двойки или оо, а при р т 2 s - степень р или оо ( оо при р - 0), если х имеет четную степень и s 2, если х имеет нечетную степень. В частности, при р - О А есть тензорное произведение внешней алгебры с образующими нечетных степеней п алгебры многочленов с образующими четных степеней. [42]
КЛИФФОРДА АЛГЕБРА - конечномерная ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом, впервые рассмотренная У. Пусть К - коммутативное кольцо с единицей, Е - свободный АГ-модуль, Q - квадратичная форма на а. ЕХЕ-ь-К - ассоциированная с Q симметрическая билинейная форма. Для нулевой квадратичной формы Q алгебра С ( Q) совпадает с внешней алгеброй А. Если A - R - поле действительных чисел, a Q - невырожденная квадратичная форма на и-мерном векторном пространстве Е над R, то C ( Q) совпадает с алгеброй M, i альтернионов, где I - число положительных квадратов в канонич. [43]