Cтраница 4
Можно также в качестве основного класса К взять совокупность всевозможных моделей данного типа, на основных множествах которых определены некоторые топологии, а в качестве Н взять совокупность непрерывных отображений, являющихся одновременно гомоморфизмами в смысле теории моделей. Если теперь под L понимать совокупность топологических алгебр соответствующего типа, то условия теоремы 5 выполняются и L-реплика ЛТ-структуры 31 будет топологической алгеброй, заданной в смысле [5] топологическим пространством 3 ( и положительным описанием 3 ( в вышеуказанном смысле. [46]
В § 4 мы указали, что пространства типа 5 являются топологическими алгебрами относительно обычного умножения. Так как при преобразовании Фурье семейство пространств типа S переходит в себя, а операция умножения - в операцию свертки, то мы можем заключить, что все пространства типа S являются топологическими алгебрами и относительно свертки. [47]
Конечно, в изложенную выше схему далеко не укладывается все многообразное содержание алгебраической науки. Существует, в частности, ряд отделов алгебры, пограничных с другими разделами математики. Такова топологическая алгебра, изучающая алгебраические системы, в которых операции непрерывны относительно некоторой сходимости, определенной для элементов этих систем; примером служит система действительных чисел. К топологической алгебре близка теория непрерывных ( или лиевых) групп, имеющая многочисленные приложения в различных вопросах геометрии, в теоретической физике, в гидродинамике. Впрочем, теория лиевых групп отличается таким переплетением алгебраических, топологических, геометрических и теоретико-функциональных методов, что было бы правильным считать ее особой ветвью математики. Существует, далее, теория упорядоченных алгебраических систем, возникшая в связи с исследованиями по основаниям геометрии и нашедшая приложения в функциональном анализе. Начинает развиваться, наконец, дифференциальная алгебра, устанавливающая новые связи между алгеброй и теорией дифференциальных уравнений. [48]