Cтраница 3
Многие результаты из теории альтернативных алгебр о связи разрешимости и нильпотентности справедливы и для и. Например, всякая конечно порожденная разрешимая и. В то же время, в отличие от альтернативных алгебр, в конечно порожденных и. [31]
При рассмотрении какого-либо семейства линейных преобразований часто бывает полезным перейти к обертывающей ассоциативной алгебре этого семейства. А во многом облегчается введением универсальной обертывающей ассоциативной алгебры. Покажем, как строится эта алгебра на примере альтернативных алгебр. [32]
В современной математике вместо архаичного термина высшая комплексная система ( или гиперкомплексная система) принят другой термин: конечномерная алгебра над полем действительных чисел. Если уравнения ха Ь, ау Ь разрешимы в рассматриваемой алгебре для любых а ф 0 в Ь, то она называется алгеброй с делением. Фробениуса ( доказанная им в 1877 г.) утверждает, что существуют только две конечномерные алгебры над полем действительных чисел, в которых умножение коммутативно, ассоциативно и нет делителей нуля, - это само поле действительных чисел и поле комплексных чисел. Далее, вторая часть теоремы Фробениуса утверждает, что если отказаться от коммутативности, но все же предполагать умножение ассоциативным, то существует еще одна единственная конечномерная алгебра над полем действительных чисел - это кватернионы, к описанию которых переходит Клейн. Наконец, отказ от ассоциативности дает еще одну алгебру с восемью единицами ( одна действительная и семь мнимых), которая была открыта английским математиком Кэли. Алгебра Кэли является альтернативной, т.е. подалгебра, порожденная любыми двумя ее элементами, является ассоциативной. В настоящее время известно, что, кроме указанных четырех алгебр, других альтернативных алгебр над полем действительных чисел не существует. [33]
Структурная теория дает описание алгебр ( как правило, удовлетворяющих нек-рым условиям конечности), представляя их в виде прямой суммы или подпрямого произведения более просто устроенных алгебр. Молина - Картана - Веддерберна - Артина перенесена на случай К. При этом же условии доказано, что если алгебра не имеет нильпо-тентных идеалов, то она разлагается в прямую ( не обязательно конечную) сумму простых алгебр, а если она не имеет даже нильпотентных элементов, то - в прямую сумму тел. В случае, когда алгебра имеет нильпо-тентные идеалы, ее строение значительно сложнее. Наиболее известной теоремой о таких алгебрах является Веддерберна - Мальцева теорема об отщеплении радикала - о разложении конечномерной ассоциативной алгебры в полупрямую сумму радикала и полупростой подалгебры. Содержательная структурная теория создана для альтернативных алгебр ( см. Альтернативные кольца и алгебры), на к-рые фактически перенесена вся теория Молина - Картана - Веддерберна - Артина, а также для йордановых алгебр. [34]