Cтраница 1
Конечномерные центральные простые алгебры над полем Ф называются подобными, если Мт ( Ф Ф / 4) Л4П ( Ф 8 Ф й) для подходящих тип. Это равносильно тому, что базисные алгебры алгебр А и В изоморфны, что, в свою очередь, равносильно эквивалентности алгебр, А и В в смысле Мориты. Отношение подобия оказывается отношением эквивалентности. Если [ А ] - класс этой эквивалентности, содержащий алгебру А, то определение [ А ] [ В ] [ A S о В ] превращает множество классов в периодическую абелеву группу, которая называется группой Брауэра поля Ф ( см. [76], § 12.5; [96], § 4.1, теорема 4.4.4; [31], § V. Отсюда вытекает, что группа Брауэра алгебраически замкнутого поля одноэлементна ( [76], с. [1]
Если А - конечномерная центральная простая алгебра над полем Ф, то Ффф А оказывается центральной простой - - алгеброй для любого расширения У поля ф, гГ Л 8фЛ, где Л - алгебра, инверсно изоморфная А, изоморфна алгебре М ( Ф), где п - размерность алгебры А. Отсюда вытекает, что Л - сепа-рабельная алгебра ( [76], с. [2]
ВРАУЭРА ГРУППА п о л я k - группа классов конечномерных центральных простых алгебр над полем fe, относительно эквивалентности, определенной следующим образом. [3]
Эти результаты сводят проблему классификации простых алгебр Ли над Ф к следующим задачам: ( 1) классификация конечных расширений Г поля Ф; ( 2) классификация конечномерных центральных простых алгебр Ли над фиксированным полем Г из задачи ( 1); ( 3) отыскание условий для существования полулинейного соответствия 6 между двумя центральными простыми алгебрами Ли над Г, являющегося их изоморфизмом как Ф - алгебр. [4]
В ней дается краткое введение в теорию полиномиальных тождеств на алгебрах. Нашей главной целью является доказательство теоремы Амицура, устанавливающей существование конечномерных центральных простых алгебр с делением, не являющихся скрещенными произведениями. Этим обусловлен выбор тем, затронутых в настоящей главе. К счастью, при доказательстве теоремы Амицура используется ряд интересных результатов о полиномиальных тождествах. В их числе - теорема Амицура - Левицкого, теорема о существовании центральных полиномов и теорема Капланского - Амицура о примитивных Р / - алгебрах. [5]