Cтраница 1
Вещественная полупростая алгебра Ли проста тогда и только тогда, когда ее схема Сатаке связна. [1]
Каждая вещественная полупростая алгебра Ли g обладает картановским разложением. Любые два картановских разложения алгебры g переводятся друг в друга некоторым внутренним автоморфизмом. [2]
Линейное представление комплексной или вещественной полупростой алгебры Ли вполне приводимо. [3]
Всякая редуктивная алгебраическая подалгебра Т) вещественной полупростой алгебры Ли д канонически вложена в д относительно некоторого картановского разложения. [4]
В настоящем параграфе рассматривается корневое разложение вещественной полупростой алгебры Ли относительно максимальной подалгебры, записываемой в присоединенном представлении диагональными матрицами. Изучение соответствующей системы корней позволяет сопоставить вещественной полупростой алгебре Ли так называемую схему Сатаке, которую можно рассматривать как обобщение схемы Дынкина. [5]
Пусть снова g У - картановское разложение вещественной полупростой алгебры Ли, а с у - максимальная R - диагонализуемая подалгебра, 2 - система корней относительно а. Выберем в 2 некоторую систему простых корней О и обозначим через 2 2 соответствующую подсистему положительных корней. [6]
Сугиура [103] классифицировал с точностью до сопряженности подалгебры Картана вещественных полупростых алгебр Ли. [7]
Все полупростые алгебры над полем комплексных чисел известны, поэтому их можно взять за исходный пункт для изучения вещественных полупростых алгебр и групп. [8]
В настоящем параграфе рассматривается корневое разложение вещественной полупростой алгебры Ли относительно максимальной подалгебры, записываемой в присоединенном представлении диагональными матрицами. Изучение соответствующей системы корней позволяет сопоставить вещественной полупростой алгебре Ли так называемую схему Сатаке, которую можно рассматривать как обобщение схемы Дынкина. [9]
Как известно, любую полупростую алгебру Ли д ( над К или С) можно отождествить с линейной алгеброй Ли adg дЦй) над тем же полем. Подалгебра I) вещественной полупростой алгебры Ли д называется ( редуктивной) алгебраической, если I) ( С) - ( редуктивная) алгебраическая подалгебра комплексной алгебры Ли 0 ( С) - Например, всякая полупростая подалгебра полупростой алгебры Ли ( над С или К) является редуктивной алгебраической. [10]
В этом пункте будет доказано, что комплексная алгебраическая линейная группа вполне приводима тогда и только тогда, когда она редуктивна. В основе доказательства лежит полная приводимость компактных линейных групп, доказанная в § 3.4. Далее, вполне приводимые вещественные алгебраические линейные группы - это вещественные формы комплексных редуктивных групп. В частности, оказывается, что любое линейное представление вещественной полупростой алгебры Ли вполне приводимо. Вей-лю [34], часто называют унитарным трюком. Все рассматриваемые линейные группы и линейные представления действуют в конечномерных векторных пространствах над полем С или К. [11]