Cтраница 2
Первым руководством по теории групп, в котором со всей отчетливостью была проведена эта точка зрения, явилась книга О. Ю. Шмидта, вышедшая в Киеве в 1916 г. В 20 - х годах Шмидт получил также важную теорему, относящуюся к теории бесконечных групп, которая стала отправным пунктом исследований для ряда других советских алгебраистов. Широкую известность приобрела, в частности, доказанная им теорема о том, что всякая подгруппа свободного произведения сама является свободным произведением подгрупп, изоморфных соответствующим подгруппам сомножителей, и, может быть, еще отдельной свободной подгруппы. Позже им была опубликована монография по теории групп, в которой впервые был систематически изложен богатый фактический материал, полученный в области общей теории групп. Эта монография в настоящее время является наиболее полным в мировой литературе курсом общей теории групп, пользующимся широкой международной известностью. [16]
Однако настоящий расцвет алгебраических исследований в нашей стране начинается лишь после Великой Октябрьской революции. Эти исследования захватывают почти все разделы современной алгебраической науки, причем в некоторых из них работы советских алгебраистов играют руководящую роль. Мы назовем лишь два имени - Н. Г. Чеботарева ( 1894 - 1947), работавшего в теории полей и теории лиевых групп, и О. Ю. Шмидта ( 1891 - 1956), известного полярника и в то же время крупного-алгебраиста, создателя советской теоретико-групповой школы. [17]
Известно, что всякая конечная группа обладает изоморфным представлением матрицами над некоторым полем. Для бесконечной группы изоморфное представление матрицами конечного порядка существует далеко не всегда, и вопрос об условиях для существования такого представления интересовал многих советских алгебраистов. Так, Н и с-н е в и ч доказал, что для изоморфной представимости свободного произведения групп О необходима и достаточна изоморфная представимость мех групп G матрицами одного и того же порядка над полями одной и той же характеристики. В этой же работе В. Л. Нисневича, с одной стороны, и в работе Д. И. Фукс-Рабиновича [3] с другой, показано, что для групп с конечным числом образующих возможность их изоморфного представления матрицами никак не связана с возможностью их задания конечным числом определяющих соотношений. [18]
Обзор различных направлений и ветвей алгебры, которому посвящены дальнейшие параграфы статьи, явится, конечно, обзором отдельных работ или циклов работ. Не все работы будут упомянуты, но обзор будет достаточно полным для того, чтобы подтвердить высказанное выше утверждение о широте и разнообразии исследований советских алгебраистов. Иногда будут упоминаться и работы, еще не опубликованные, но лишь В том случае, если они уже находятся в печати и если автор обзора имел в свое время возможность ознакомиться с ними в рукописи. [19]
Как уже отмечалось, в первые послереволюционные годы алгебраистов в нашей стране было очень мало, тем не менее советская алгебра достигла больших успехов. Наиболее крупными активно работавшими советскими алгебраистами этого периода - были Н. Г. Чеботарев и О. Ю. Шмидт, о вкладе которых уже говорилось выше. Это были А. А. Кулаков, А. Г. Курош, С. А. Чунихин, Ф. Р. Гантмахер, А. И. Мальцев ( все москвичи), Д. К. Фаддеев ( Ленинград), С. Н. Черников и П. Г. Кон-торович ( Свердловск), И. Д. Адо и В. В. Морозов ( Казань), а также Л. С. Понтрягин, М. Г. Крейн, И. М. Гельфанд и другие известные математики, работавшие в смежных с алгеброй областях. [20]
В этих областях алгебры сейчас работают многие советские математики, составляющие при всем разнообразии тем и направлений, по существу, единый научный кол-дектив. За эти годы ими достигнут ряд серьезных успехов, а в некоторых направлениях, в которых работа ведется у нас систематически, исследования советских ученых уже оказывают заметное, а иногда 9 решающее влияние на работы зарубежных алгебраистов. Во всяком случае, сейчас при оценке успехов всей советской математики, успехов весьма значительных, лучшие достижения советских алгебраистов в теории групп и теории колец не могут не приниматься во внимание. Наконец, происходит постоянный приток новых молодых сил к исследованиям в этих областях, причем столь интенсивный, что лишь весьма немногие ветви советской математики могут сравниваться с алгеброй в этом отношении. [21]
В отличие от теории групп, в теории колец и алгебр наша наука еще не имеет сколько-нибудь сложившихся традиций, не имеет своих определившихся направлений. Оставаясь пока, как правило, территориально связанными с Москвой, эти исследования постепенно расширяют свою тематику и уже привели к некоторым значительным результатам. За самые последние годы вопросы теории колец привлекли некоторых новых молодых ученых и это позволяет надеяться на дальнейшее развитие исследований в этой области, тем более, что многие советские алгебраисты понимают необходимость ликвидации той диспропорции, которая существует у нас между исследованиями по теории групп и теории колец. [22]
Великая Отечественная война отразилась на интенсивности исследований по теории групп - многие молодые алгебраисты с оружием в руках защищали родину, некоторые были заняты работами по оборонной научной тематике. В результате войны мы навсегда потеряли нескольких талантливых молодых ученых, уже сделавших свой первый вклад в науку, иногда весьма значительный, но далеко не успевших развернуть и тем более исчерпать свои возможности и силы. Тем не менее работа над теоретико-групповыми проблемами продолжалась даже в самые трудные годы, в условиях эвакуации, к ним привлекались новые начинающие ученые, и теория групп продолжает оставаться и сейчас в центре интересов советских алгебраистов. [23]
Алгебра в новом понимании, то есть то, что стали называть в двадцатые годы современной алгеброй, а теперь уже снова называют просто алгеброй, стала самостоятельной дисциплиной в течение нескольких лет. Нетер ( 1882 - 1935) совместно со своими учениками в Геттпнгене строит общую теорию коммутативных колец, теорию идеалов и модулей над кольцами, подвергает систематическому изучению основные проблемы некоммутативной алгебры. Все-упомянутые алгебраические структуры изучаются на основе определяющих их аксиом, независимо от природы входящих в них элементов. Программно воспринимались уже самые названия работ Нетер: Абстрактное построение теории идеалов в алгебраических числовых полях ( 1923), Некоммутативная алгебра ( 1933) и др. В атом направлении интенсивно развиваются исследования советских алгебраистов, группирующихся в двадцатые годы вокруг О. Ю. Шмидта ( 1891 - 1956), известного также как полярный исследователь и геофизик, молодых голландских, американских, французских математиков. Венль п другие математики одного поколения с Негер, но опа до своей кончины остается признанным главой алгебраистов. [24]
Еще мне хочется сказать несколько слов об Анатолии Ивановиче как руководителе и человеке. Анатолий Иванович внимательно выслушивал мнение своих коллег, учитывал его, старался решить вопрос коллегиально и демократично. Многие помнят, как во время Кишиневского коллоквиума Анатолий Иванович провел тайное голосование кандидатур советских алгебраистов для выступлений с получасовыми докладами на Московском международном конгрессе математиков, хотя, будучи председателем алгебраической секции конгресса, он мог бы предложить эти кандидатуры по своему усмотрению. [25]