Граф - кокстер
Cтраница 1
Граф Кокстера не дает информации о соотношениях длин векторов. Оказывается, оснащение указанных выше графов Кокстера восстанавливается однозначно. [1]
Граф Кокстера определяет лишь углы между парами корней базиса; по нему не восстанавливается матрица Картана ( но восстанавливается группа Вейля): существуют дуальные неизоморфные К. Однако матрица Картана ( а с ней и К. Ориентация вводится по правилу: если простые корни а - и а - не ортогональны п имеют разную длину, то на двух или трех ребрах, соединяющих i - ю и / - ю вершины, ставится знак неравенства, ориентированный в сторону вершины, отвечающей корню меньшей длины. В нек-рых случаях над каждой вершиной графа Кокстера надписывают число, пропорциональное квадрату длины соответствующего корня ( с общим для всех корней коэффициентом пропорциональности); по такому взвешенному графу также однозначно восстанавливается К. [2]
Так доопределенный граф Кокстера назовем ( как принято в теории корневых систем) схемой Дынкина. [3]
Ее граф Кокстера получается из графа л) отбрасыванием одной вершины. Отметим, что в остальных интегрируемых системах с двумя степенями свободы степень дополнительного полиномиального интеграла равна именно рангу соответствующей группы Кокстера. [4]
Ясно, что если интегрируемая система неприводима, то ее граф Кокстера связен и непуст. [5]
При наличии разных длин корней ( например, в случае В2 или G2) граф Кокстера не говорит нам, какая из двух вершин соответствует короткому простому корню, а какая длинному, если эти вершины соединены двумя или тремя ребрами. [6]
Когда в графе Кокстера для Ф встречается двойное или тройное ребро, мы можем добавить стрелку, указывающую на более короткий из двух корней. Как и граф Кокстера, она зависит от нумерации простых корней. [7]
Граф Кокстера не дает информации о соотношениях длин векторов. Оказывается, оснащение указанных выше графов Кокстера восстанавливается однозначно. [8]
 |
Матрицы Картана. [9] |
Идея доказательства состоит в том, чтобы сначала классифицировать возможные графы Кокстера ( независимо от относительных длин корней), а затем посмотреть, какие схемы Дынкина при этом получаются. Поэтому мы просто применим элементарную евклидову геометрию к конечным множествам векторов с попарными углами, предписанными графом Кокстера. Так как нас не интересуют длины, здесь удобнее работать с множествами единичных векторов. [10]
Граф Кокстера определяет лишь углы между парами корней базиса; по нему не восстанавливается матрица Картана ( но восстанавливается группа Вейля): существуют дуальные неизоморфные К. Однако матрица Картана ( а с ней и К. Ориентация вводится по правилу: если простые корни а - и а - не ортогональны п имеют разную длину, то на двух или трех ребрах, соединяющих i - ю и / - ю вершины, ставится знак неравенства, ориентированный в сторону вершины, отвечающей корню меньшей длины. В нек-рых случаях над каждой вершиной графа Кокстера надписывают число, пропорциональное квадрату длины соответствующего корня ( с общим для всех корней коэффициентом пропорциональности); по такому взвешенному графу также однозначно восстанавливается К. [11]
Страницы: 1