Cтраница 1
Группы додекаэдра и икосаэдра изоморфны прямому произведению знакопеременной группы AS на 5 элементах и отражения. [1]
Если бы теперь группа додекаэдра имела инвариантную подгруппу, то последняя содержала бы какое-либо одно вращение второго, третьего или пятого порядка, и потому содержала бы все вращения того же самого порядка. Следовательно, эта подгруппа содержала бы вообще все вращения группы додекаэдра, что невозможно. Группа додекаэдра не имеет поэтому инвариантных подгрупп. [2]
Группа тетраэдра есть симметрическая группа S4 на четырех элементах, так как он является полным графом с 4 вершинами. Группы додекаэдра и икосаэдра изоморфны прямому произведению знакопеременной группы А5 на 5 элементах и отражения. [3]
Центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра. Поэтому группы додекаэдра и икосаэдра изоморфны. Для каждого ребра икосаэдра имеется одно противоположное параллельное ему ребро и две пары перпендикулярных к нему ребер: ребра одной пары начинаются в вершинах граней, примыкающих к данному ребру, а ребра другой пары принадлежат граням, имеющим вершинами концы данного ребра. Ребра одной из этих дар параллельны, а разных пар - перпендикулярны меж Ду собой. Таким образом, все 30 ребер делятся на пять систем по шести в каждой системе. Ребра одной системы либо параллельны, либо перпендикулярны, а ребра разных систем не параллельны и не перпендикулярны. [4]
Центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра. Поэтому группы додекаэдра и икосаэдра изоморфны. Для каждого ребра икосаэдра имеется одно противоположное параллельное ему рабро и две пары перпендикулярных к нему ребер: ребра одной пары начинаются в вершинах гранен, примыкающих к данному ребру, а ребра другой нары принадлежат граням, имеющим вершинами концы данного ребра. Ребра одной из этих пар параллельны, а разных пар - перпендикулярны между собой. Таким образом, все 30 ребер делятся на пять систем по шести в каждой системе. Ребра одной системы либо параллельны, либо перпендикулярны, а ребра разных систем не параллельны и не перпендикулярны. С каждой системой ребер связан октаэдр, вершинами которого служат середины ребер. [5]
Аналогично, выполняя в надлежащем направлении вращения пятого порядка около осей SB и SB, можно получить вращение третьего порядка около оси SA. Таким образом, исходя из вращений третьего порядка группы додекаэдра, можно получить все вращения пятого порядка той же группы, и обратно. [6]
Если бы теперь группа додекаэдра имела инвариантную подгруппу, то последняя содержала бы какое-либо одно вращение второго, третьего или пятого порядка, и потому содержала бы все вращения того же самого порядка. Следовательно, эта подгруппа содержала бы вообще все вращения группы додекаэдра, что невозможно. Группа додекаэдра не имеет поэтому инвариантных подгрупп. [7]
Наконец, выполняя последовательно вращение третьего порядка в направлении угла CAB около оси SA и вращение пятого порядка в направлении угла ABC около оси SB, мы получим в качестве результирующего вращения вращение второго порядка около оси SC. Отсюда и следует, что исходя только из вращений, третьего порядка или только из вращений пятого порядка, мо жно получить все вращения второго порядка, а следовательно, и всю группу додекаэдра. [8]
Если бы теперь группа додекаэдра имела инвариантную подгруппу, то последняя содержала бы какое-либо одно вращение второго, третьего или пятого порядка, и потому содержала бы все вращения того же самого порядка. Следовательно, эта подгруппа содержала бы вообще все вращения группы додекаэдра, что невозможно. Группа додекаэдра не имеет поэтому инвариантных подгрупп. [9]
А переходит в одну из остальных вершин. Таким образом, эта группа всего содержит 60 вращений. Такой же будет и группа додекаэдра, поверхность которого состоит из двенадцати правильных пятиугольников и содержит двадцать вершин. Чтобы убедиться в этом, надо расположить додекаэдр относительно икосаэдра так же, как это выше мы сделали для куба относительно октаэдра. [10]