Cтраница 1
Группа классов дивизоров относительно алгебраич. Ее ранг обозначается через р и наз. Порядок подгруппы кручения этой группы обозначается через а и наз. [1]
Группа классов дивизоров нулевой степени на эллиптической кривой изоморфна группе рациональных точек ее якобиевой кривой. [2]
Ограничены ли числа образующих групп классов дивизоров квадратичных полей с простым дискриминантом. [3]
Многие результаты о строении группы классов дивизоров поля Кп удается получить с помощью аналитич. [4]
Группу Sx определим как группу классов дивизоров относительно алгебраической эквивалентности. [5]
Если для последовательности полей ограниченной степени над R, число образующих группы классов дивизоров неограниченно возрастает, то число этажей башни над этими полями также неограниченно возрастает. [6]
Пусть X - кривая над полем К, Pic X - ее группа классов дивизоров нулевой степени. Тогда Pic X можно реализовать как множество геометрических точек некоторого абелева многообразия J Jx над / С, которое называется якобиевым многообразием ( или якобианом) кривой X. В случае К - С структура Pic0 описывается теоремой Абеля. [7]
Определим теперь группу Sx - Как известно, группа Sx / & х изоморфна группе классов дивизоров на кривой X. Строение же этой группы следующее. [8]
Другие примечания связаны со структурой группы автоморфизмов поверхности типа КЗ. Пусть 5 - группа классов дивизоров этой поверхности, рассматриваемая как евклидова решетка. [9]
Основным инвариантом такой поверхности является ее группа классов дивизоров, определенных над алгебраическим замыканием поля К, то есть группа Пикара Pic V. Этот инвариант обладает несколькими структурами; это свободная абелева группа конечного ранга, решетка относительно скалярного умножения, определенного индексом пересечения дивизоров, и-модуль относительно действия группы Галуа GK. K ( V), группа Pic V, вообще говоря, меняется, хотя это изменение можно проследить. Однако группа когомо-логий Галуа Я ( 0к, Pic V) является конечной группой и би-рациональным инвариантом поверхности. [10]
В случае, когда множество S пусто, т.е. в случае башни / - полей классов, известно очень мало примеров, в которых удалось бы установить конечность башни. Конечность, очевидно, всегда имеет место, когда группа классов дивизоров поля k циклическая. Группы SS ( S - пустое множество) задаются в этом случае соотношениями ( 31) cm n k lb первом случае ит &1 п 2во втором. [11]
Таким образом, множество эллиптических кривых над k, имеющих w своим якобиевым многообразием и бирационально эквивалентных из над К, отображается на множество скрещенных гомоморфизмов группы Галуа G поля K / k в группу точек 21 на и с координатами из К. Если мы включим в понятие эллиптической кривой с заданным якобиевым многообразием о и каноническую функцию Ф, отображающую группу классов дивизоров нулевой степени на 7 на кривую ш, то преобразования второго типа с s l отпадут, и бирациональные ( в новом смысле) классы кривых j будут находиться во взаимно-однозначном соответствии с элементами одномерной группы гомологии [4] H1 ( G, 21), Групповая операция, определенная на Hl ( G, 21 -), естественно переносится на эти классы. [12]
Каждому дивизору Картье D на X сопоставляется О. Qx ( D), чем определяется инъективный гомоморфизм С1Х - - - PicA, где С1Х - группа классов дивизоров Картье на X. Для целых схем X этот гомоморфизм является изоморфизмом. [13]
На кривой Fp, вообще говоря, нельзя ввести структуру одномерного абелева многообразия над полем k ( B), для этого необходимо, чтобы она имела рациональную точку над этим полем. Образ а В С характеризуется тем, что это неприводимая кривая на V и ( С F) - 1, где F - любой слой расслоения тг. Для этого нужно рассмотреть якобиеву кривую Ар кривой Fp. Кривая Ар обладает тем свойством, что существует бирациональ-ное отображение ( р кривой Fp на Ар, определенное над некоторым конечным расширением поля k ( B), которое устанавливает изоморфизм между группой классов дивизоров нулевой степени кривой Fp, определенных над любым полем К D & (), и группой точек на кривой Ар, определенных над тем же полем. Дальше будет удобно считать кривые Fp ( и соответствующие поверхности V с пучком эллиптических кривых) различными, если отображения ( р различны - не отличаются на автоморфизм одномерного абелева многообразия Ар. [14]