Cтраница 1
Группа параллельных переносов является нормальным делителем в группе движений плоскости. [1]
Обозначим через Я группу параллельных переносов, и пусть hi, / Ь Я. [2]
Большая сложность группы вращений сравнительное группой параллельных переносов имеет, однако, и свою положительную сторону. [3]
Бианки сформулировал теорему: траектории двух групп Gl параллельных переносов пересекаются под постоянным углом ( [50], стр. [4]
Сам результат о подобии любой одночленной группы группе параллельных переносов вдоль одной из осей эквивалентен теореме о выпрямлении векторного поля. [5]
Элементы X, Y порождают абелев идеал f, являющийся алгеброй Ли группы параллельных переносов плоскости. [6]
Группа движения Rn, порожденнная преобразованием (2.6) ( группа преобразования Галилея), подобна группе параллельных переносов Vm. Преобразование (3.1) есть их преобразование подобия. [7]
Поэтому множество гомотетий ( включая параллельные переносы) образует группу относительно умножения. Группа параллельных переносов является ее подгруппой. [8]
При выводе пространственных групп симметрии существенную помощь оказывают инвариантные геометрические образы, играющие роль элементов симметрии. Одномерной группе параллельных переносов, состоящей из всех повторений ( степеней) переноса а соответствует инвариантный образ - ось переносов а с отмеченным па ней дискретным рядом точек ( ср. Элементом симметрии, соответствующим двумерной трансляционной группе, служит плоская сетка или система ее узлов ( ср. Трехмерной группе параллельных переносов будет соответствовать, очевидно, трехмерная сетка ( или система ее узлов), называемая пространственной решеткой. [9]
Произведение нескольких параллельных переносов - это параллельный перенос, вектор которого равен сумме векторов составляющих переносов; следовательно, имеет место коммутативность. Заметим, что из группы параллельных переносов трехмерного пространства можно выделить подгруппу переносов на векторы, параллельные данной плоскости; тогда любая плоскость, параллельная этой плоскости, инвариантна в целом и подвергается переносу, который называется ограничением данного переноса на этой плоскости. Аналогично можно рассматривать подгруппу параллельных переносов, характеризуемых векторами, параллельными заданному направлению, и ее ограничение на прямой этого направления. [10]
Остановимся еще на случае, когда элемент группы HZ ( G, A), соответствующий расширению, - нулевой. Например, группа движений плоскости является полупрямым произведением группы параллельных переносов и группы вращений, а в качестве дополнения группы параллельных переносов можно выбрать группу вращений вокруг какой-нибудь фиксированной точки. Насколько однозначно в общем случае определяется дополнение в распадающемся расширении. [11]
Остановимся еще на случае, когда элемент группы HZ ( G, A), соответствующий расширению, - нулевой. Например, группа движений плоскости является полупрямым произведением группы параллельных переносов и группы вращений, а в качестве дополнения группы параллельных переносов можно выбрать группу вращений вокруг какой-нибудь фиксированной точки. Насколько однозначно в общем случае определяется дополнение в распадающемся расширении. [12]
Оказывается, что такие уравнения в ряде случаев имеют интересный физический смысл. Например, случай, когда G есть группа всех движений трехмерного евклидова пространства ( 0 О ( 3) - Г, где Т - группа параллельных переносов), соответствует движению тела по инерции в идеальной жидкости. Но наиболее интересным является случай бесконечномерной группы Ли всех диффеоморфизмов многообразия - алгеброй Ли ее является алгебра Ли всех векторных полей. Этот случай связан с явлениями типа движения идеальной жидкости. Однако он не укладывается в стандартную теорию групп и алгебр Ли, и теория находится здесь, по-видимому, на эвристическом уровне. [13]
Следовательно, гамильтониан системы инвариантен относительно группы параллельных переносов. Эта группа является трех-параметрической группой Ли. [14]
В пространстве L преобразование g является ортогональным. Отображение g - g является гомоморфизмом группы движений в группу ортогональных преобразований. Образ этого гомоморфизма совпадает с группой всех ортогональных преобразований. Таким образом, группа параллельных переносов является нормальным делителем. [15]