Cтраница 3
Для плохо обусловленных систем возникает проблема выбора алгоритма решения. В конечном итоге это может привести к достаточно сильному искажению решения. Для таких систем требуются так называемые устойчивые алгоритмы, позволяющие исключить появление нежелательных ошибок, связанных, в частности, с плохой обусловленностью. [31]
Под структурной устойчивостью понимают способность системы сохранять качественный характер поведения при малых изменениях параметров системы. Очевидно, что требование структурной устойчивости также имеет большое значение для машиностроения: грамотно запроектированные машины, безусловно, должны обладать структурной устойчивостью. В последние годы категории устойчивости и родственные им понятия получили широкое распространение в теоретической и вычислительной математике. В частности, говорят об устойчивых разностных схемах, устойчивых алгоритмах и т.п. Так называемые теория катастроф и теория странных аттракторов также находятся в тесной связи с теорией устойчивости в широком смысле. [32]
Некоторые ( но отнюдь не все) простые методы сортировки, которые рассматриваются в данной главе, суть устойчивые методы. С другой стороны, многие из сложных алгоритмов сортировки ( опять-таки, не все), которые исследуются в нескольких последующих главах, таковыми не являются. В тех случаях, когда устойчивость должна быть неотъемлемым свойством, мы вводим его, добавляя перед сортировкой к каждому ключу небольшой индекс, либо расширяем ключ сортировки каким-нибудь другим способом. Выполнение такой дополнительной работы равносильно использованию обоих ключей для сортировки, представленной на рис. 6.1; использование устойчивого алгоритма сортировки гораздо предпочтительней. Легко согласиться с необходимостью наличия свойства устойчивости; фактически, ряд более сложных алгоритмов, которые будут рассматриваться в следующих главах, достигают устойчивости без существенных дополнительных затрат памяти и времени. [33]
Хорошая или плохая обусловленность тесно связана с величинами определителя матрицы ( ХТХ) и ее элементов. Для плохо обусловленных систем возникает проблема выбора алгоритма решения. В конечном итоге это может привести к достаточно сильному искажению решения. Для таких систем требуются так называемые устойчивые алгоритмы, позволяющие исключить появление нежелательных ошибок, связанных, в частности, с плохой обусловленностью. [34]
АК Здесь А ВВ - квадратная матрица размера т, симметрическая, определяющая при условии det Л 5 0 существенно положительно-определенную квадратичную форму; В - матрица, транспонированная к В. Однако, как уже указывалось ранее [23], система ( 8) в задаче об уточнении силовых постоянных плохо обусловлена. Уравнения системы ( 8), в силу выполнения ряда изотопных правил, а также по многим другим причинам образуют линейно зависимую или почти линейно зависимую систему. Нормированные определители подобных систем или равны, или почти равны нулю. Решение таких систем неединственно и неустойчиво по отношению к ошибкам исходных данных В и АЛ. Данная задача принадлежит к так называемым некорректно-поставленным задачам. В работах [25, 26] Тихонов строит устойчивый алгоритм для решения вырожденных или почти вырожденных систем, названный регуляризирующим алгоритмом, зависящим от вспомогательных параметров. Ниже нами был применен этот алгоритм к колебательной задаче. [35]
Это в равной мере будет справедливо для тех собственных векторов фЛ, соответствующих собственным значениям Hi, величины которых лежат в пределах точности расчета элементов а ц матрицы А. В методе наименьших квадратов при уточнении силовых постоянных помимо предположения о том, что система должна быть избыточной, требуется еще одно очень важное условие: исходное приближение U должно быть достаточно близким к искомому. Только это условие обеспечивает близость расчетных значений Л к экспериментальным значениям. Последнее в свою очередь обеспечивает малость поправок А / С и, следовательно, в разложении относительно этих поправок можно удовлетвориться только линейными членами разложения. Эти трудности возрастают с увеличением порядка векового уравнения. U, то членами 2 - й, 3 - й и бшее высоких степеней в разложении относительно поправок А / С пренебрегать нельзя. Та избыточная информация, которая предполагается в этом методе, на самом деле для больших молекул отсутствует. Она в принципе может быть получена только для небольших молекул. Для больших молекул, чтобы уменьшить число неизвестных, применяют специализированные силовые поля. И, наконец, решение плохо обусловленных систем с помощью построения устойчивых алгоритмов, зависящих от параметра а, полностью не решает проблемы. А далеко от искомого, а также в случае приближенной зависимости между определенной совокупностью силовых постоянных. Таким образом, проблема отыскания единственного решения остается открытой. [36]