Cтраница 1
Свободные группы конечного ранга в многообразии, порожденном конечной группой, конечны. [1]
Группа автоморфизмов свободной группы конечного ранга достаточно хорошо известна. [2]
Группа автоморфизмов свободной группы конечного ранга является конечно представимой. [3]
Группа автоморфизмов AuiF свободной группы F конечного ранга порождена перестановками и нильсеновскими автоморфизмами. [4]
Многообразие не порождается никакой своей свободной группой конечного ранга. [5]
Ограничимся теперь локально конечными многообразиями U и их свободными группами конечного ранга. Тогда группа G F ( 11) конечна. [6]
Хоутон имеет некоторую дополнительную информацию, показывающую, между прочим, что свободная группа бесконечного ранга многообразия, где свободные группы конечных рангов разложимы, может быть неразложимом. Некоторые из отмеченных выше результатов будут немного позже опубликованы. Так как вопрос полностью еще не решен, мы не будем входить в детали. [7]
Напротив заметим, что как будет видно из 2.3, простым следствием метода преобразований Нильсена является тот факт, что свободная группа конечного ранга - хопфова. [8]
Если всякая такая подгруппа имеет не более п свободны образующих, то минимальное число п с этим свойством называете рангом локально свободной группы. Ранг свободного произведения коне ного числа локально свободных групп конечного ранга равен сумме рана сомножителей. Существуют неразложимые в свободное произведение локалы свободные группы любого конечного ранга и любой бесконечной MOI ности. [9]
G G существует единственный гомоморфизм ( р: F - G такой, что ( р ( х) i... Вывести отсюда, что любая конечно порожденная группа изоморфна факторгруппе подходящей свободной группы конечного ранга. [10]
Если всякая такая подгруппа имеет не более п свободны образующих, то минимальное число п с этим свойством называете рангом локально свободной группы. Ранг свободного произведения коне ного числа локально свободных групп конечного ранга равен сумме рана сомножителей. Существуют неразложимые в свободное произведение локалы свободные группы любого конечного ранга и любой бесконечной MOI ности. [11]
Доказательство теоремы 7.3 5 получается теперь быстро, но использует очень сильные результаты. По теореме Столлингса 6.2.9 группа G расщепляется над конечной подгруппой. Если G на самом деле свободна от кручения, то эта конечная подгруппа должна быть тривиальна, и, используя теорему Грушко 2.2.27 и метод индукции по числу порождающих группы G, показываем, что G - свободная группа конечного ранга. Если G не является свободной от кручения, то теорему Грушко больше применять нельзя. К счастью, теорема Данвуди [65] 6.2.9 показывает, что конечно представленная группа не может расщепляться над конечными подгруппами бесконечно часть. Это опять делает возможным применение метода индукции и достижения желаемого результата. [12]
Только что доказанная теорема допускает одно интересное следствие. Известно, что счетные свободные группы могут быть представлены изоморфно матрицами степени 2 над полем рациональных чисел. С другой стороны, нами показано [1], что всякая группа, пред ставимая матрицами степени п локально, допускает представление степени п в целом. Отсюда следует, что локально свободные группы представимы матрицами степени 2 над подходяще выбранным полем. Применяя теорему о счетности представимых групп конечного ранга, мы видим, что все локально свободные группы конечного ранга являются счетными. [13]