Cтраница 1
Прерывные группы, содержащие бесконечно малые подстановки, также не имеют приложения в теории автоморфных ( функций. [1]
Фукса необходимо найти прерывные группы движений гиперболической плоскости. [2]
Так выводят 230 пространственных прерывных групп симметрии кристаллической структуры, или федоровских групп симметрии. [3]
Пуанкаре принадлежит идея определения прерывных групп движения при помощи их фундаментальных областей. [4]
Автоморфные функции Фукса имеют собственно прерывные группы подстановок, изображающие группы движений гиперболической плоскости. Все собственно прерывные группы преобразований на плоскости, отличные от групп Фукса, называются группами Клейна, а соответствующие автоморфные функции-функциями Клейна. [5]
Можно показать, что всякая собственно прерывная группа имеет фундаментальную область. Для теории автоморфных функций чрезвычайно важно, что, задавая фундаментальные области. [6]
Естественно искать функции, автоморфные по отношению к некоторым прерывным группам движений плоскости Лобачевского. Для этого прежде всего надо на плоскости комплексного переменного найти изображение соотношений, существующих на плоскости Лобачевского ( гиперболическая плоскость), подобно тому как эти соотношения изображаются в случае плоскости Евклида ( параболическая плоскость), или в случае сферы ( эллиптическая плоскость), где это достигается при помощи стереографической проекции. [7]
Выше мы разобрали случаи автоморфных функций, инвариантных по отношению к некоторой прерывной группе движений на плоскости Римана, причем там были найдены все случаи групп собственно прерывных. Мы разобрали также случаи автоморфных функций, инвариантных по отношению к некоторой прерывной группе движений на плоскости Евклида, причем в этом случае наиболее важный класс функций, как это было выяснено, представляют собой эллиптические функции, к которым можно было свести и соответствующие случаи функций Шварца. [8]
Таким образом, группы однопериодических функций и эллиптических функций представляют собой единственные слу-1 чаи собственно прерывных групп параллельных перемещений плоскости комплексного неременного. [9]
Разобранные в предыдущей главе автоморфные функции, как было показано, инвариантны по отношению к подстановкам, которые образуют прерывную группу движений евклидовой плоскости или сферы. При этом сферу можно рассматривать как изображение плоскости Римана при условии, что две диаметрально противоположные точки сферы представляют собой одну точку плоскости Римана и прямыми в геометрии Римана являются геодезические линии сферы, - то-есть ее большие окружности. [10]
Построим многоугольник со сторонами, ортогональными к предельной окружности группы Фукса, причем пусть эквивалентные стороны и углы, принадлежащие к одному циклу, удовлетворяют условиям, которым должны удовлетворять всякие фундаментальные многоугольники собственно прерывной группы. [11]
Автоморфные функции Фукса имеют собственно прерывные группы подстановок, изображающие группы движений гиперболической плоскости. Все собственно прерывные группы преобразований на плоскости, отличные от групп Фукса, называются группами Клейна, а соответствующие автоморфные функции-функциями Клейна. [12]
Итак, в теории автоморфных функций имеют приложение только группы, не имеющие бесконечно малых подстановок, то-есть только такие группы, для которых на плоскости ( z) существуют площадки, не содержащие двух точек, эквивалентных друг другу. Такие группы называются собственно прерывными группами. [13]
Можно также доказать, что и, обратно, всякая прерывная группа движений может быть получена указанным способом. [14]
Выше мы разобрали случаи автоморфных функций, инвариантных по отношению к некоторой прерывной группе движений на плоскости Римана, причем там были найдены все случаи групп собственно прерывных. Мы разобрали также случаи автоморфных функций, инвариантных по отношению к некоторой прерывной группе движений на плоскости Евклида, причем в этом случае наиболее важный класс функций, как это было выяснено, представляют собой эллиптические функции, к которым можно было свести и соответствующие случаи функций Шварца. [15]