Cтраница 1
Прокоммутированная группа G / G, G ], соответствующая некоторой группе G, есть наибольшая абелева группа, являющаяся гомоморфным образом группы G. Более строго это можно выразить следующим образом. Рассмотрим произвольный гомоморфизм 9 группы G в абелеву группу / С. [1]
Прокоммутированная группа произвольного узла является бесконечной циклической группой. [2]
Действительно, пусть прокоммутированная группа М конечного копредставления ( х: г) бесконечна. Тогда, очевидно, существует гомоморфизм /: Я - У, отображающий Я на группу целых чисел. [3]
В частности, прокоммутированная группа любого узла является циклической. [4]
Мы утверждаем, что прокоммутированная группа любого узла является бесконечной циклической. Доказательство этого основано на рассмотрении верхнего копредставления группы узла. [5]
Однако в отличие от идеалов, которые определены для любого конечного ко-представления, существование и единственность полиномов узла основываются на особых алгебраических свойствах прокоммутированной группы узла. Поэтому первый параграф этой главы посвящен доказательству теоремы о том, что прокоммутированная группа узла всегда является бесконечной циклической группой. Во втором параграфе устанавливаются нужные для дальнейшего алгебраические свойства группового кольца бесконечной циклической группы. Затем мы определяем полиномы узла, проверяем их существование, единственность и инвариантность и изучаем некоторые их свойства. Последний параграф содержит примеры различных типов узлов, отличаемых друг от друга с помощью вычисления их полиномов или идеалов. Особо подчеркнем, что мы ограничиваемся здесь узлами, чьи группы обладают верхним копредставлением. [6]
Полиномы узла существуют и единственны с точностью до / п, где п - произвольное целое число, а t - образующий элемент бесконечной циклической группы, являющейся прокоммутированной группой копред-ставления ( х: г) группы узла. [7]
Пусть теперь а есть образ а при факторизации по коммутанту. Ясно, что прокоммутированная группа порождается а. Если мы предполагаем, что ПхМф %, то в коммутанте должен быть элемент р, отличный от единицы группы. Итак, при коммутировании Я ] М получается конечная группа, и одномерное число Бетти группы щМ равно нулю. [8]
Однако в отличие от идеалов, которые определены для любого конечного ко-представления, существование и единственность полиномов узла основываются на особых алгебраических свойствах прокоммутированной группы узла. Поэтому первый параграф этой главы посвящен доказательству теоремы о том, что прокоммутированная группа узла всегда является бесконечной циклической группой. Во втором параграфе устанавливаются нужные для дальнейшего алгебраические свойства группового кольца бесконечной циклической группы. Затем мы определяем полиномы узла, проверяем их существование, единственность и инвариантность и изучаем некоторые их свойства. Последний параграф содержит примеры различных типов узлов, отличаемых друг от друга с помощью вычисления их полиномов или идеалов. Особо подчеркнем, что мы ограничиваемся здесь узлами, чьи группы обладают верхним копредставлением. [9]
Напомним, что гомоморфизм / представляет собой линейное расширение на групповое кольцо индуцированного изоморфизма прокоммутированной группы х: г на про-коммутированную группу y: s ( см. (4.4) и предшествующий параграф гл. [10]
Простейшими примерами до-подгрупп являются коммутант и степень. Она является подгруппой группы G, порожденной всеми элементами вида g ST1 1 - Факторгруппа G / [ G, G ] называется прокоммутированной группой, а канонический гомоморфизм G - G / [ G, G ] - коммутированием. Прокоммутированная группа является всегда абелевой группой. Коммутирование как раз и делает все элементы перестановочными. [11]
Простейшими примерами до-подгрупп являются коммутант и степень. Она является подгруппой группы G, порожденной всеми элементами вида g ST1 1 - Факторгруппа G / [ G, G ] называется прокоммутированной группой, а канонический гомоморфизм G - G / [ G, G ] - коммутированием. Прокоммутированная группа является всегда абелевой группой. Коммутирование как раз и делает все элементы перестановочными. [12]