Cтраница 1
Алгебраическая группа автоморфизмов пространства V называется неприводимой, если соответствующий ей идеал - простой. [1]
Алгебраическая группа G автоморфизмов пространства V обладает общей точкой тогда и только тогда, когда она неприводима. [2]
Пусть GX-наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, алгебра Ли которой содержит элемент X. Любая точка s группы 0 является специализацией точки ехр ТХ. Отсюда следует, что р ( s) - специализация точки р ( ехр ТХ) ( предложение 2 из § 6) и принадлежит группе Я. Это показывает, что X принадлежит алгебре Ли группы N. [3]
Пусть О - алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, и пусть Gx - алгебраическая компонента единицы группы О. [4]
Пусть G - алгебраическая группа автоморфизмов пространства V и G1 - алгебраическая компонента единицы группы О. [5]
Пусть теперь О - алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, а - - идеал, соответствующий группе О. Множество aG, очевидно, опять будет группой. [6]
Предложение 6, Пусть О - алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, и пусть g - - алгебра Ли группы О. [7]
Предположим опять, что g - пространство эндоморфизмов пространства U, и пусть Н - алгебраическая группа автоморфизмов пространства U. G, в которых отображение R определено. Предположим, что группа Н неприводима. [8]
Поле L - конечное нормальное расширение поля К обозначим через Г его группу Галуа. Из леммы 1 следует существование алгебраической группы G автоморфизмов пространства VL, алгебра Ли которой содержит эндоморфизм X и которая является наименьшей группой, обладающей этими свойствами. [9]
G называют степень трансцендентности поля рациональных функций над G no отношению к полю К. Под размерностью любой ( не обязательно неприводимой) алгебраической группы G автоморфизмов пространства V мы будем понимать размерность алгебраической компоненты ее единицы. [10]
При таких же обозначениях, как в предложении 2, пусть N - нилъпотентный элемент алгебры S, перестановочный с элементом 5; положим X-S - - N. К, образуют неприводимую алгебраическую абелеву группу G автоморфизмов пространства V. Алгебра Ли группы G содержит элемент X, и G содержится во всех алгебраических группах автоморфизмов пространства V, алгебры Ли которых содержат X. [11]
Поле L можно тогда рассматривать также как конечномерное векторное пространство над полем / С; обозначим. Таким образом, мы получаем изоморфизм мультипликативной группы L элементов f 0 поля L с некоторой группой автоморфизмов пространства V. Будем говорить, что подгруппа G группы L есть алгебраическая группа, если ее образ G - алгебраическая группа автоморфизмов пространства V. [12]