Cтраница 1
Любая компактная группа Ли допускает точное линейное представление. [1]
На любой компактной группе Ли К существует единственная структура вещественной алгебраической группы, причем комплексная алгебраическая группа К ( С) редуктивна. Любая редуктивная комплексная алгебраическая группа обладает алгебраической компактной вещественной формой. Две компактные группы Ли изоморфны ( как группы Ли или как алгебраические группы над К) тогда и только тогда, когда изоморфны соответствующие редуктивные алгебраические группы над С. [2]
Касательная алгебра любой компактной группы Ли компактна. [3]
Пусть G - любая компактная группа Ли, эффективно действующая на многообразии, имеющем рациональный когомологический тип октавной проективной плоскости. [4]
Таким образом, любая компактная группа Ли снабжается большим набором биинвариантных римановых метрик. [5]
Такая метрика существует на любой компактной группе Ли. [6]
Имеется теорема Мостов а [2], относящаяся исключительно к теории групп Ли и утверждающая, что результаты, аналогичные теореме 10.5, справедливы для действий любых компактных групп Ли G, если они верны для торов. Ли G, замкнутый относительно сопряжения, и если множество СП Т1 Се, где Т - максимальный тор группы G, конечно, то И содержит лишь конечное число классов сопряженных подгрупп. [7]
Рассмотренные в этом разделе конструкции, по существу, исчерпывают обобщения рассмотренной в разделе 4.2 калибровочной модели с группой 517 ( 2) и дублетом скалярных полей: с их помощью можно построить калибровочную теорию с любой компактной группой Ли и любым представлением скалярных полей. [8]
Согласно задаче 7, любая связная компактная группа Ли допускает точное линейное представление. Теперь мы распространим это утверждение на любые компактные группы Ли. [9]
Теорема 1, описывающая группу вращений трехмерного пространства, дает пример геометрических свойств, типичных для многих групп Ли. Во-первых, гомоморфизм G - - G / ( l) ( где G - группа кватернионов с нормой 1) является, очевидно, неразветвленным накрытием. Ее инвариантная риманова метрика может быть согласована с такой же метрикой группы G. Но G есть сфера S3 и, значит, многообразие положительной римано-вой кривизны. Тем самым, это верно и для группы вращений. Можно показать, что для любой компактной группы Ли инвариантная риманова метрика имеет неотрицательную кривизну, а направления, в которых эта кривизна нулевая, соответствуют коммутативным подгруппам. [10]