Cтраница 1
Разрешимая линейная группа над полем комплексных чисел содержит нормальную подгруппу с нильпотентным коммутантом, имеющую конечный индекс. [1]
Локально разрешимые линейные группы над полем являются разрешимыми. [2]
Каждая разрешимая линейная группа G степени п над полем комплексных чисел С содержит такую подгруппу К конечного индекса, что при подходящем выборе базы все матрицы, отвечающие линейным преобразованиям из К, оказываются нижними треугольными. [3]
Классическая теорема Ли гласит: связная разрешимая линейная группа Ли над полем комплексных чисел приводится к треугольному виду. [4]
Если Г - локально конечномерная локально разрешимая линейная группа над полем нулевой характеристики, то ее - радикал совпадает с множеством всех унипотентных элементов. [5]
Для доказательства этого факта необходимо некоторое чисто теоретико-групповое утверждение, которое мы установим в (17.1), чтобы не прерывать изложение в дальнейшем. В (17.5) и (17.6) мы рассмотрим вопрос, при каких условиях разрешимая линейная группа приводится к треугольному виду. [6]
Используя введенное им понятие ранга [25], А. И. Мальцев выделил пять важных классов А ( i 1, 2, 3, 4, 5) разрешимых групп и применил к их изучению линейные группы, доказав две фундаментальные теоремы о линейных группах. Одна из них ( известная в настоящее время под названием теоремы Мальцева - Колчина) утверждает, что любая разрешимая линейная группа над алгебраически замкнутым полем обладает триангулируемой нормальной подгруппой, индекс которой конечен и не превосходит некоторого числа, зависящего только от порядка матриц. [7]
Объединение в одной главе, казалось бы, совсем разных алгебраических систем не случайно. В конце главы устанавливается очень тесная связь между нильпотент-ными группами и нильпотентными алгебрами Ли. Кроме того, доказываются теорема о подгруппах свободной группы, теорема о строении конечных нильпотентных групп, теорема об одновременном приведении всех матриц разрешимой линейной группы к треугольному виду и теорема с представлении алгебр Ли как ассоциативных алгебр о операцией коммутирования. [8]
Интерес ее заключается в следующем. Как показал Адо [1] г каждая алгебра Ли допускает изоморфное матричное представление. Биркгоф [2] дал примеры групп Ли, которые не допускают изоморфных матричных представлений. Картан [6] дал новое доказательство теоремы Адо, из которого, в частности, вытекает существование изоморфных матричных представлений связных, односвязных разрешимых групп. К этим результатам мы добавляем следующий ( теорема 1): каждая связная разрешимая линейная группа разлагается в прямое произведение своей максимальной компактной подгруппы и односвязного нормального делителя. [9]