Cтраница 1
Движение евклидовой плоскости можно записать в виде у Ах Ь, где А ЕО ( 2), а вектор b определяет параллельный перенос ( сдвиг) на плоскости. Ясно, что все такие преобразования сохраняют евклидову метрику ( проверьте. Как будет показано далее, они исчерпывают собою все изометрий плоскости. [1]
Обозначим через G группу движений евклидовой плоскости. Более того, предположим, что преобразования из G сохраняют ориентацию. Поэтому конформная структура на R2 индуцирует конформную структуру на факторпространстве 7 R2 / G, и Т превращается в риманову поверхность. [2]
Тик, представления группы движения евклидовой плоскости связаны с цилиндрич. Особенно часто в физике используют представления группы вращений Трехмерного пространства, с ними связаны Вигнера функции, Клебша - Гордана коэффициенты и Вигнера 6 -символы, к-рые можно выразить через ортогональные полиномы непрерывного или дискретного аргумента. Вигнера удается записать с помощью полиномов Якоби или полиномов Кравчука. Клебша-Гордана и 6 / - символы Вигнера можно выразить через полиномы Хана и полиномы Рака. [3]
VI мы видели, что в случае движений евклидовой плоскости такой группой является только группа с двумя периодами. Нетрудно и обратно показать, что всякая функция жанра 1 униформизируется при помощи эллиптических функций. [4]
Всйкршиграсса эллиптически к функции п являются автоморфныии функциями, группа к-рых есть группа движений евклидовой плоскости. [5]
Если jn ( G) 0, то эта группа кристаллографическая, то есть реализуется движениями евклидовой плоскости. [6]
Выпрямляя группы SO0 ( 2, 1) и SO ( 3), получаем группу ISO ( 2) движений евклидовой плоскости, матричные элементы неприводимых унитарных представлений которой выражаются через функцию Бесселя. [7]
Разобранные в предыдущей главе автоморфные функции, как было показано, инвариантны по отношению к подстановкам, которые образуют прерывную группу движений евклидовой плоскости или сферы. При этом сферу можно рассматривать как изображение плоскости Римана при условии, что две диаметрально противоположные точки сферы представляют собой одну точку плоскости Римана и прямыми в геометрии Римана являются геодезические линии сферы, - то-есть ее большие окружности. [8]
Исходя из подобных соображений, можно доказать, что при любой исходной поверхности в случае присутствия на ней критических точек получаются группы Фукса, за исключением нескольких случаев поверхности жанра 0, из которой при подходящих точках ветвления могут получиться группы движений евклидовой плоскости. [9]
Централизатор произвольного подмножества тоже связен. Связная группа Ли экспоненциальна тогда и только тогда, когда она не имеет факторгрупп, содержащих в качестве подгруппы универсальную накрывающую группы движений евклидовой плоскости. [10]
Вторая существенная компонента школьной геометрии - это измерение длин и углов и выяснение соотношений между линейными и угловыми элементами различных фигур. Потребовалось длительное историческое развитие, прежде чем было осознано, что в основе этих измерений лежит существование отдельного математического объекта - группы движений евклидовой плоскости или евклидова пространства как целого, и что все метрические понятия могут быть определены в терминах этой группы. Клейна ( 1872) зафиксировала понимание этого замечательного принципа, и геометрией надолго стало изучение пространств М, снабженных достаточно большой группой симметрии, и свойств фигур, инвариантных относительно действия этой группы, включая углы, расстояния и объемы. [11]
Среди транзитивных групп встречаются такие, для которых можно найти семейство многообразий ( содержащих, все вместе, любую точку) такое, что при преобразованиях этой группы одна точка одного многообразия переходит в точку другого и все точки первого многообразия переходят в некоторые точки второго. Так будет, например, для транзитивной группы переносов трехмерного евклидова пространства. Такие транзитивные группы называются импримитив-ными, а многообразия указанных семейств - семействами импримитивности. В противном случае группы примитивны. Так, группа движений евклидовой плоскости очевидно примитивна. [12]
Среди транзитивных групп встречаются такие, для которых можно найти семейство многообразий ( содержащих, все вместе, любую точку) такое, что при преобразованиях этой группы одна точка одного многообразия переходит в точку другого и все точки первого многообразия переходят в некоторые точки второго. Так будет, например, для транзитивной группы переносов трехмерного евклидова пространства. Такие транзитивные группы называются импримитивными, а многообразия указанных семейств - семействами импримитивности. В противном случае группы примитивны. Так, группа движений евклидовой плоскости очевидно примитивна. [13]
Собственно преобразование Радона было определено Радоном ( Radon) в статье 1917 г. Оно состояло в том, что каждой функции на евклидовой плоскости сопоставлялась функция на множестве прямых, значение которой на прямой равно интегралу исходной функции по этой прямой. Конечно, функции надо рассматривать достаточно быстро убывающие, чтобы интегралы существовали. Но я о таких вещах в своем докладе говорить не собираюсь, поскольку меня будет интересовать совсем другое. В частности, давайте в этом классическом примере обратим внимание на то, где определены рассматриваемые функции. А преобразования Радона функции определены на множестве прямых. Это пространство является проективной плоскостью с выколотой точкой, на которой определенным образом действует группа движений евклидовой плоскости. [14]