Cтраница 1
Действие линейных операторов Нк на все f m уже известно из разд. [1]
Как утверждает определение, собственный вектор х под действием линейного оператора А переходит в вектор, коллинеарный самому себе. Иными словами, при действии линейного оператора собственный вектор просто умножается на некоторое число. В то же время несобственные векторы под действием оператора А преобразуются более сложным образом. Понятие собственного вектора является очень полезным и удобным в изучении многих вопросов линейной алгебры. При этом главная идея использования собственных векторов заключается в следующем. Действие оператора А на свои собственные векторы сводится к умножению этих векторов на некоторые числа. [2]
При фиксированных базисах в пространствах координатное равенство позволяет полностью исследовать действие линейного оператора. Очевидно, что это исследование осуществляется тем эффективнее, чем проще вид матрицы оператора. В общем случае матрицы операторов зависят от базисов и выяснение этой зависимости является нашей ближайшей задачей. [3]
Учитывая соотношение ( 5), легко показать, что под действием линейного оператора прямые переходят в прямые, параллельные-в параллельные, сохраняется простое отношение трех точек. При этом длины отрезков, величины углов, вообще говоря, не сохраняются. [4]
При решении дифференциальных уравнений со случайными членами, а также для предсказания значений случайного процесса требуется представить данный случайный процесс как результат действия линейного оператора на белый шум. [5]
Тогда действие исходного нелинейного оператора на входные функции, значения которых мало отклоняются от их значений в выбранном стационарном режиме, можно приближенно заменить действием линейного оператора. [6]
Как утверждает определение, собственный вектор х под действием линейного оператора А переходит в вектор, коллинеарный самому себе. Иными словами, при действии линейного оператора собственный вектор просто умножается на некоторое число. В то же время несобственные векторы под действием оператора А преобразуются более сложным образом. Понятие собственного вектора является очень полезным и удобным в изучении многих вопросов линейной алгебры. При этом главная идея использования собственных векторов заключается в следующем. Действие оператора А на свои собственные векторы сводится к умножению этих векторов на некоторые числа. [7]
Своей популярностью передаточные функции обязаны простому и красивому соотношению, связывающему вход и выход системы. При этом формально простая процедура, характеризующая действие линейного оператора, оказывается фактически простой операцией умножения двух комплексных выражений. [8]
Подчеркнем, что такого рода двойное истолкование возможно лишь для линейных преобразований неизвестных с невырожденной матрицей А. Линейные преобразования с вырожденной матрицей А описывают в координатах действия необратимых линейных операторов, но никакого отношения к замене базисов не имеют. [9]
Эта глава состоит из десяти параграфов. Основной ее массив ( § § 2 - 8, 10) посвящен геометрии пространств Крейна - главной арены действия линейных операторов, изучаемых в этой книге. При этом центральным является § 8, в котором подробно развит метод угловых операторов Гинзбурга - Филлипса и приведены некоторые ( пока - чисто геометрические) его применения. [10]
В этой книге мы рассматриваем не столько линейные операторы одного пространства в другое, сколько линейные операторы пространства в себя. Зафиксируем в V какой-либо базис и поставим в соответствие каждому вектору его координатный столбец, а каждому линейному оператору пространства V - его матрицу в этом базисе. Тогда сложение и умножение векторов или линейных операторов на числа, а также умножение линейных операторов заменяются одноименными операциями над матрицами; действие линейного оператора на вектор означает умножение столбца на матрицу слева. При вычислениях эта точка зрения весьма удобна. [11]