Cтраница 1
Элементарные делители матрицы А, в отличие от инвариантных многочленов, существенно связаны с данным числовым полем К. Если мы вместо исходного числового поля К возьмем другое числовое поле ( которому также принадлежат элементы данной матрицы А), то элементарные делители могут измениться. [1]
Система элементарных делителей матрицы В ( х) есть, согласно предложению 20.5, объединение систем элементарных делителей ее диагональных элементов. Матрица А ( х) как эквивалентная матрице В ( х) имеет те же элементарные делители. [2]
Очевидно, элементарные делители матрицы А суть ( Я-1), Я2 и минимальный многочлен ф ( Я) ( А-1) V3 совпадает с характеристическим. [3]
Если все элементарные делители матрицы ЛеМт, ( К) ( р ( Л) г) заданы, то ее инвариантные множители могут быть найдены с помощью следующей процедуры. [4]
Произведение всех элементарных делителей матрицы А с точностью до знака равно ее характеристическому многочлену. [5]
Очевидно, что элементарные делители матрицы / - - КЕ совпадают с элементарными делителями характеристической матрицы. Заметим также, что корни характеристического уравнения А - КЕ 0 совпадают с корнями элементарных делителей. [6]
С помощью теории элементарных делителей матрицы эта задача также сводится к применению алгоритма Евклида. Элементарным преобразованием над Z строк матрицы назовем преобразование, при котором к некоторой строке прибавляют другую, умноженную на целое число, а остальные строки не меняют. [7]
Такие множители называются элементарными делителями матрицы А. В набор элементарных делителей каждый множитель входит с учетом кратности. [8]
Таким образом, если элементарные делители матрицы А попарно взаимно просты, то в формуле для X 7 / А имеется только дискретная многозначность. В этом случае любое значение Г / - А можно представить как многочлен от А. [9]
Иными словами, все элементарные делители матрицы А должны быть многочленами первой степени. Так как, однако, все инвариантные множители матрицы А - 7 Е являются делителями многочлена еп ( К), то последнее условие равносильно тому, что все элементарные делители многочлена еп ( К) имеют степень 1, что и требовалось доказать. [10]
Доказательство условия 3.32.1. Если элементарные делители матрицы Я / - А линейны, то рациональная каноническая форма матрицы А ( см. 3.29.3) имеет диагональный вид. Обратно, если А подобна диагональной матрице D, то, согласно 3.26.1, матрицы Я / я - Ли Я / - D имеют одни и те же элементарные делители, а в силу 3.26.3 элементарные делители матрицы Я / - D линейны. [11]
Излишне отмечать, что элементарные делители матрицы Л ( р) не изменяются при перестановке двух строк или двух столбцов, а также при замене строк столбцами. [12]
Обратно, пусть системы элементарных делителей матриц хЕ - А и хЕ - В совпадают. Определитель характеристической матрицы отличен от нуля, следовательно, максимальные порядки не равных нулю миноров матриц хЕ - А и хЕ - В равны. Но тогда совпадают их системы инвариантных множителей, следовательно, эти матрицы имеют одну и ту же каноническую форму. Две матрицы, эквивалентные третьей, эквивалентны друг другу. [13]
УП - П ПРИ простых элементарных делителях матрицы ( 70) и вещественных корнях характеристического уравнения ( 72) является нормальным. [14]
В эти группы включены все возможные элементарные делители матриц третьего порядка, для которых полином д ( р) является аннулирующим. [15]