Cтраница 1
Экспоненциальная дихотомия решений и функции Ляпунова. Для установления условий существования экспоненциальной дихотомии решений можно использовать функции Ляпунова. Предварительно введем определения, связанные с генеральными показателями решений. [1]
Пусть имеет место экспоненциальная дихотомия решений системы (2.64) с показателем а. [2]
Построение функций Ляпунова в случае экспоненциальной дихотомии решений. [3]
Целесообразность применения функций Ляпунова для установления экспоненциальной дихотомии решений видна из следующей теоремы. [4]
Теорема 2.3. Для того чтобы имела место экспоненциальная дихотомия решений для системы (2.64), необходимо и достаточно, чтобы существовала квадратичная форма v ( X) Х СХ, производная которой была бы определенно отрицательной квадратичной формой - w ( X) - Х ВХ. [5]
Теорема 2.9. Для того чтобы имела место экспоненциальная дихотомия решений системы (2.109) с комплексными коэффициентами, необходимо и достаточно, чтобы существовала эрмитова форма v ( X) Х СХ, производная которой в силу системы (2.109) была бы определенно отрицательной эрмитовой формой - w ( X) - Х ВХ. [6]
Приведем формулу для построения функции Ляпунова в случае экспоненциальной дихотомии решений системы (2.143) с показателем а. [7]
Отсюда следует, что при выполнении неравенства о - а сохраняется экспоненциальная дихотомия решений системы (2.206) с показателем аг. [8]
Таким образом, если существует функция Ляпунова - эрмитова форма v ( t, X) с ограниченными на всей оси коэффициентами, удовлетворяющая уравнению (2.170), где w ( t, X) - определенно положительная эрмитова форма, то а не принадлежит спектру генеральных показателей. При этом имеет место экспоненциальная дихотомия решений системы (2.143) с показателем а. [9]
Экспоненциальная дихотомия решений и функции Ляпунова. Для установления условий существования экспоненциальной дихотомии решений можно использовать функции Ляпунова. Предварительно введем определения, связанные с генеральными показателями решений. [10]
При j ц, j 1 производная является определенно отрицательной функцией. Поэтому при ] [ i 1 сохраняется экспоненциальная дихотомия решений и нулевое решение системы (4.105) неустойчиво. [11]
Система линейных дифференциальных уравнений (2.64) с постоянными коэффициентами при любом а экспоненциально дихотомична, если у системы (2.64) нет характеристических показателей с вещественной частью, равной а. Если имеет место экспоненциальная дихотомия решений с показателем а 0, то будем просто говорить, что имеет место экспоненциальная дихотомия решений, а саму систему дифференциальных уравнений будем называть дихотомической. [12]
Система линейных дифференциальных уравнений (2.64) с постоянными коэффициентами при любом а экспоненциально дихотомична, если у системы (2.64) нет характеристических показателей с вещественной частью, равной а. Если имеет место экспоненциальная дихотомия решений с показателем а 0, то будем просто говорить, что имеет место экспоненциальная дихотомия решений, а саму систему дифференциальных уравнений будем называть дихотомической. [13]