Cтраница 1
Исследование экстремальной задачи в такой общей постановке сводится к выяснению условий непересечения некоторых выпуклых множеств, каждое из которых связано с каким-либо ограничением, фигурирующим в задаче, или с минимизируемым функционалом. На этом пути возможны новые подходы к изучению квазиоптимальных процессов. [1]
При исследовании экстремальных задач часто требуется найти зависимости их оптимального решения или их значения от некоторого параметра, входящего в условия задачи. Зависимость значения задачи от параметра называют функцией цены, функцией невязок и пр. [2]
При исследовании экстремальных задач в бесконечномерных пространствах большую роль играют такие понятия, как градиент функционала, выпуклость множеств и функционалов и др. Эти понятия естественным образом обобщают соответствующие понятия, которыми мы пользовались в гл. [3]
При исследовании экстремальных задач в В-пространст-вах, как и в конечномерном случае, большую роль играют выпуклые множества и функционалы. [4]
В последние годы при исследовании экстремальных задач, возникающих в различных областях прикладной математики, все более важную роль играют методы, связанные с понятием выпуклости. [5]
Вариационные неравенства являются полезным инструментом исследования экстремальных задач и в более общих ситуациях. Например, при отказе от субдифференцируемости можно записать вариационные неравенства такие, что среди их решений находятся и решения рассматриваемых экстремальных задач. [6]
Справедливы следующие две теоремы, имеющие широкое применение при исследовании экстремальных задач в функциональных пространствах. [7]
Несомненный интерес представляет развитый в работах Дубовицкого и Милютина [48] общий подход к исследованию экстремальных задач с ограничениями. [8]
Убедиться в том, что применяя синхронное детектирование удается свести нелинейную задачу, какой является исследование экстремальной задачи, к линейной, можно следующим образом. [9]
В опубликованной в 1951 г. работе Е. П. Бокса и К. Б. Уилсона [100] открыт новый этап в планировании эксперимента. В ней разработана методология исследования многофакторных экстремальных задач. [10]
Даже не рассматривая вопроса о подлинности этого письма, надо при-знать что здесь отнюдь не сформулирован универсальный закон Мопертюи о минимуме количества действия. На это указывает и оговорка обычно и указание на максимум или минимум. Возможно, что именно потому, что Лейбниц не мог найти условий обязательности для действия быть минимумом, он не опубликовал своих соображений, довольно естественно связанных с исследованием экстремальных задач, например брахистохроны. [11]
Имеются две группы методов решения экстремальных задач - аналитические и численные. Аналитические методы явно определяют решение в функции от параметров, определяющих задачу. Численные методы в состоянии указать значение решения ( обычно приближенное) для каждого конкретного набора параметров условий задачи. Аналитические методы основаны на хорошо разработанном математическом аппарате исследования экстремальных задач ( разного типа - от простейших задач на безусловный экстремум до задач оптимального управления. Эти методы в тех случаях, когда они могут быть применены, дают богатую информацию о решении, доставляя его сразу для целого параметрического семейства задач. Аналитические методы позволяют, таким образом, сравнительно легко оценить влияние тех яли иных параметров задачи на ее решение. К сожалению, они применимы лишь к задачам достаточно простой аналитической природы. Стремление привести реальную задачу к математической форме, допускающей аналитическое решение, часто приводит к недопустимому ( с точки зрения адекватности исходной задаче) переупрощению. Численные методы дают меньшую информацию о решении, чем аналитические. [12]
В связи с расширением круга приложений математики внимание ученых в последние десятилетия было привлечено к новых задачам, исследование которых в рамках классического математического анализа оказалось затруднительным. В первую очередь это относится к экстремальным задачам, возникающим при анализе различных моделей выбора оптимальных решений в экономике, технике, военном деле и других сферах человеческой деятельности. В возникающих при анализе оптимизационных моделей экстремальных задач искомый максимум или минимум достигается, как правило, не во внутренних, а в граничных точках области изменения соответствующих параметров управления. Ввиду этого здесь оказываются уже недостаточными классические приемы исследования экстремальных задач, изучаемые в общем курсе математического анализа. Это привело к возникновению ряда новых математических направлений, предметом которых являются постановка, теоретическое исследование и разработка эффективных методов решения различных классов экстремальных задач, связанных с теми или иными проблемами оптимизации. Таковыми являются линейное, выпуклое, динамическое и целочисленное программирование, теория игр, теория оптимального управления и дифференциальных игр, а также общая теория выпуклых экстремальных задач в функциональных пространствах. Формирование указанных направлений потребовало разработки принципиально новых подходов, оказавших существенное влияние практически на все. [13]