Cтраница 1
Исследование асимптотики представляет собой самостоятель-i ную и сложную задачу, рассмотрение которой связано со значитель - ными трудностями как физического, так и математического характера. Вторая часть условий ( 11) констатирует только факт выхода на горизонтальные асимптоты, не определяя значений этих асимптот. Строго говоря, поскольку мы не имеем доказательства однозначной связи между условием выхода решения на асимптоту и единственной совокупностью производных при 20 ( более того, из представлений о физическом процессе вероятно, что такая связь вообще не имеет места), постольку наша задача является недостаточно определенной. [1]
Монография посвящена исследованию асимптотики соСствен - ных чисел и собственных Яункций задачи Дирихле для оператора Лапласа в выпуклой ооласти на пл-оскости. К этой задаче сводится изучение малых колебаний выпукло. Асимптотические выражения для собственных чисел и собственных функций ( называемые квазимодами) строятся на основе изучения инвариантных множеств специальной динамической системы - выпуклого биллиарда, порожденного областью и. В книге содержится систематическое изложение теооии выпуклого биллиарда. Построены квазимоды, аппроксимирующие часть спектра оператора Лапласа, которая имеет положительную плотность в множестве всех собственных чисел оператора Лапласа. [2]
Излагаемый ниже подход к исследованию логарифмической асимптотики вероятностей семейств определенных событий проводится в рамках общей теории функциональных предельных теорем: будут рассматриваться семейства мер в метрических пространствах. Вводимая далее функция уклонений играет ключевую роль при описании упомянутой асимптотики. [3]
Как обычно в гидродинамике, для качественного анализа принципиальное значение имеет исследование асимптотики решения вблизи особых точек потока. Такими точками являются, прежде всего, окрестности источников и стоков ( скважин), где скорость потока обращается в бесконечность, окрестность бесконечно удаленной точки, в которой скорость стремится к нулю, окрестность критической точки потока ( при фильтрации с предельным градиентом давления - застойной зоны), где скорость потока обращается в нуль, и окрестность угловых точек границы потока. [4]
В двух последних главах ( главы 4, 5) рассматриваются приложения результатов первых трех глав к исследованию асимптотики на больших временах решений эволюционных уравнении и описанию точ - ных классов единственности решения задачи Коши для них, изучению спектра сингулярных дифференциальных операторов и доказательству теорем типа Лиувилля для решений дифференциальных уравнений, вычислению асимптотики математического ожидания для одного класса функционалов от случайных диффузионных процессов. [5]
Заметим, что уравнение типа (5.6.15) было получено также в работе [81], для модели двухкомпонентной возбудимой среды с равными коэффициентами диффузии для обеих компонент, но использовалось в ней лишь для исследования асимптотики % г при г - оо. [6]
Исследование асимптотики течений вязкой жидкости на бесконечности представляет большой теоретический и практический интерес. Для приближений Стокса и Озеена асимптотические формулы имеют вид. [7]
Приступим к исследованию координатной асимптотики слагаемых Фа и Фар. [8]
ФУРЬЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР - интегральный оператор, обобщенное ядро к-рого является быстроосциллирующей функцией или интегралом от такой функции. Операторы такого типа возникли при исследовании асимптотики быстроосциллирующих решений уравнений с частными производными ( см. [1], [2]) и при исследовании особенностей фундаментальных решений гиперболич. [9]
Существует много работ, посвященных отдельным весьма разнообразным задачам, напр. Для линейных уравнений одной из характерных задач является задача исследования асимптотики собственных значений и собственных функций ( см., напр. [10]
Приведем сначала эвристические соображения, которые лежат в основе используемого здесь метода построения асимптотических формул. В случае нейтральных частиц для построения асимптотик мы воспользовались методом преобразования Фурье, опираясь на изученные ранее свойства ядер волновых операторов в импульсном представлении. Этот метод не может быть использован в случае трех заряженных частиц, поскольку, как мы уже отмечали, нам неизвестны свойства ядер резольвенты или Г - матрицы при положительных энергиях. Однако данный способ исследования координатных асимптотик решений дифференциальных уравнений не исчерпывает всех возможностей. Напротив, если мы найдем асимптотику с помощью независимых соображений, то мы сможем исследовать и свойства Г - матрицы в импульсном представлении, делая обратное преобразование Фурье. Посмотрим - какие методы можно использовать с этой целью. [11]
Читатель, вероятно, обратил внимание на некоторую близость методики настоящего параграфа и методики гл. II, хотя задачи, рассмотренные здесь и в гл. II, существенно различны по своему характеру. Эта близость состоит в том, что в обоих случаях мы, исполь - зуя подходящим образом подобранное эталонное уравнение, сводим задачу исследования асимптотики решений гиперболической системы второго порядка к исследованию поведения решений некоторой системы первого порядка, матрица коэффициентов которой определяется через решение вспомогательной нелинейной системы интегральных уравнений. [12]
Исследование асимптотических свойств ортогональных многочленов ( рп ( х) при п - оо приводит к двум основным проблемам: асимптотическое поведение рассматриваемых многочленов вне промежутка ортогональности, в особенности в комплексной плоскости, и асимптотическое поведение на самом промежутке ортогональности. В общем случае вторая проблема является более глубокой и более трудной, чем первая. Мы начинаем изложение с исследования многочленов Лежандра, получая для них различные важные асимптотические формулы. Наша цель состоит не только в том, чтобы дать обзор результатов, но также и в том, чтобы указать разлдчные применяемые здесь методы. Мы приводим также результаты для случая ультрасферических многочленов и обобщенных многочленов Якоби. Исследование асимптотики многочленов Лагерра и Эрмита вообще требует новых рассмотрений, хотя по существу в этих случаях могут быть применены те же методы, что и раньше. [13]
Одним из наиболее распространенных методов анализа динамических систем является метод малых возмущений. Этим методом, как правило, исследуется поведение решений в некоторой окрестности состояния равновесия. Окрестность считается достаточно малой, и поэтому уравнение можно линеаризовать, изучить характер поведения соответствующей линеаризованной системы, а затем попытаться найти качественные и количественные характеристики уклонений от решений линейного уравнения. Для этого удобно ввести в уравнение в качестве коэффициента перед возмущениями линеаризованной системы малый параметр е, отражающий локальный характер анализа модели. Поскольку уклонения от решения линейного уравнения стремятся к нулю при е - 0, то основной задачей является отыскание эквивалентной бесконечно малой. Впервые на это обстоятельство обратил внимание И. И. Гихмап ( см. библиографию в [16, 19]), обнаруживший слабую компактность мер, соответствующих решениям стохасти - ческих уравнений с малым параметром. Дальнейший анализ ре - шений этих уравнений связан с исследованием асимптотики нор - мированных уклонений от решений уравнений усредненного дви - жения. [14]