Cтраница 2
В серии работ [29-35, 42-47, 50, 53, 55], публикация которых началась с 1969 г., для параболического случая развивается метод исследования матрицы Грина, предложенный в эллиптическом случае Ю. П. Красовским и называемый далее методом интегральных операторов. В них не делается никаких ограничений на порядки граничных условий, рассматривается случай системы уравнений. Области, в которых рассматриваются граничные задачи, могут быть как ограниченными, так и неограниченными, цилиндрическими или нецилиндрическими. [16]
Они используются, в частности, при изучении латинских прямоугольников, в задаче о назначениях, при исследовании матриц с неотрицательными элементами и с суммами элементов но строкам и столбцам, лежащими в заданных границах. [17]
Исследование матрицы платежеспособного спроса, представленной в табл. 2.4, показывает, что лучшими являются следующие стратегии: по критерию гарантированного результата - Р, по критерию оптимизма - РЗ, по критерию пессимизма - РЗ, по критерию Гурвица при k 0 6 - РЗ. [18]
Исследование матрицы платежеспособного спроса, представленной в табл. 2.4, показывает, что лучшими являются следующие стратегии: по критерию гарантированного результата - Р, по критерию оптимизма - РЗ, по критерию пессимизма - РЗ, по критерию Гурвица при k 0 6 - РЗ. [19]
Проведение исследования матрицы наблюдений методами факторного анализа приводит к выделению групп признаков, сильно коррелированных между собой, при этом признаки каждой группы характеризуют один и тот же аспект. Если на основе выделенных таким образом групп признаков рассчитать показатель уровня развития, то получатся синтетические характеристики, отображающие отдельные аспекты исследуемого явления, соответствующие выделенным факторам. [20]
Понятие доминирования ( § 11.2) применимо к матрицам игр в такой же степени, как и к матрицам решений. Поэтому вторым шагом будет исследование матрицы на доминируемые ( подчиненные) стратегии для обоих игроков. [21]
Предложена методика проверки правильности составления динамической матрицы жесткости сложных пространственных дискретных систем с большим числом степеней свободы. С этой целью выполняется исследование матрицы на положительную определенность. Разработаны два алгоритма на языке АЛГОЛ-60, реализующие критерий Сильвеетера для положительной определенности симметрических матриц. Приведен пример расчета собственных частот трехмассовой пространственной системы. [22]
При исследовании устойчивости важную роль играет тот часто встречающийся случай, когда матрица А постоянна. В этом случае ответ на вопрос, является ли асимптотически устойчивым нулевое решение системы (3.18), может быть получен с помощью исследования матрицы А. [23]
Значительный интерес представляют коэффициенты корреляции, характеризующие взаимосвязь факторов между собой. Как уже отмечалось, в корреляционную модель надо подбирать независимые между собой факторы. Если коэффициент корреляции двух факторов выше 0 85, то один из них необходимо исключить из модели. Исследование матрицы коэффициентов корреляции позволяет сделать вывод, что в данную модель включены факторы, не очень тесно связанные между собой. [24]
Условию 3 при таком сопоставлении соответствует условие, что у линейного расширения р, соответствующего оператору 6, нет ограниченных траекторий. Если теорему 10.2 применить к оператору из примера 9.1, то дискретные операторы ят ( 6) при выполнении условий 1, 2 и условия, что коэффициенты постоянны в окрестности граничных точек, представляются явно в виде суммы обратимого и конечномерного. Исследование таких операторов сводится к исследованию системы линейных алгебраических уравнений, что приводит, как и в примере 9.1, к явным условиям обратимости. Отметим, однако, что при таком подходе нужно исследовать матрицу размерности 2я0, где я0, определенное в примере 9.1, может оказаться большим, в то время как в примере задача сведена к исследованию матриц второго порядка. [25]
Вольтерра показал, что элементы интеграла от матрицы из ац ( х) дают фундаментальную систему решений дифференциальных уравнений, Нетрудно обобщить соответствующие формулы для случая неоднородных систем дифференциальных уравнений или для случая более одной независимой переменной. Преобразование этих последних друг в друга приводит к введению дифференциальных параметров. Было получено также обобщение известных результатов Фукса о разложении решений линейного дифференциального уравнения в окрестности одной из его особых точек. Далее Вольтерра перешел к исследованию матриц, элементами которых являются однозначные и регулярные функции от положения на римановой поверхности. [26]
Теперь рассмотрим другой вопрос - о проверке устойчивости и запасов устойчивости в учебниках для университетов и технических университетов. В учебниках рекомендуется судить об устойчивости по корням характеристического полинома для линейных систем и по существованию ( или не существованию) функции Ляпунова для нелинейных систем. Если все корни характеристического полинома системы имеют отрицательные части; или если у системы существует функция Ляпунова, то такую систему учебники рекомендуют считать устойчивой. Уделяют слишком мало внимания тому, что параметры любой реальной системы почти никогда не могут быть известны идеально точно и почти никогда не могут быть идеально постоянными. Поэтому система, формально устойчивая при номинальных значениях параметров, но способная терять устойчивость при малых, неизбежных на практике отклонениях параметров от номинальных значений, ничуть не лучше ( и даже хуже) системы неустойчивой. Пригодной для практического использования может быть лишь система, имеющая ненулевой запас устойчивости, сохраняющая устойчивость при неизбежных вариациях параметров. Во многих учебниках о запасах устойчивости рекомендуют судить по расположению корней характеристического полинома на комплексной плоскости. Если все корни характеристического полинома лежат в левой полуплоскости комплексного переменного, далеко от мнимой оси, то система обладает конечным запасом устойчивости и пригодна для практического применения - такая рекомендация встречается во многих учебниках. На самом деле подобная рекомендация не верна и опасна. Примеры, приведенные в предыдущих главах, доказывают, что никакое исследование расположения корней характеристического полинома ( так же, как и исследование матрицы коэффициентов системы, записанной в нормальной форме Коши или существование функции Ляпунова) сами по себе ничего не говорят о запасах устойчивости. Для того чтобы быть уверенными в том, что проектируемая система имеет запас устойчивости и пригодна для практического применения, нужно обязательно провести дополнительные проверки, о которых было рассказано в предыдущих главах. О необходимости таких проверок, о ненадежности преобразований, эквивалентных в классическом смысле, но не в расширенном - надо обязательно ( хотя бы коротко) рассказать в ходе учебного процесса. [27]