Cтраница 3
При этом наиболее хорошо изученным классом уравнений вида ( 1) является класс уравнений с вполне непрерывным оператором F. Именно это свойство типично для обыкновенных дифференциальных уравнений с линейным обыкновенным дифференциальным оператором С и локальным оператором ( оператором Немыцкого) F, который при естественных предположениях вполне непрерывен ( сокр. Свойство полной непрерывности оператора позволяет продуктивно использовать для исследования разрешимости уравнений различные принципы неподвижных точек, вытекающие из принципа Шаудера или основанные на методе монотонных операторов. [31]
Настоящий параграф посвящен доказательству энергетических оценок. Мы сна-чпла определим квадратичную форму Лере, связанную с данным гиперболическим оператором, и получим для нее оценку снизу в случае уравнений с постоянными коэффициентами. Затем мы покажем, что эти оценки являются двусторонними и, пользуясь этим, установим аналогичные оценки с переменными коэффициентами. Полученные результаты будут неоднократно использоваться в § § 3 - 5 при исследовании разрешимости гиперболических уравнений в пространствах функций с экспоненциальным весом но времени. [32]
Крылова отличается от других прежде всего тем, что в ней сконцентрированы все основные идеи современной теории линейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка с гладкими коэффициентами. Однако значительная часть результатов и доказательств приводится для уравнений произвольного порядка. Например, решение уравнений с постоянными коэффициентами во всем пространстве с помощью преобразования Фурье, исследование разрешимости эллиптических уравнений в пространствах Гельдера в Md на основе априорных оценок шаудеровского типа и метода продолжения по параметру. [33]