Cтраница 1
К-конструктивизм привлекателен именно своей конструктивностью. Встав на эту позицию, К-существо, в определенном смысле, рассуждает только о том, что точно знает, не привлекая никаких гипотез о свойствах объектов внешнего мира. Множества становятся вполне определенными объектами, а именно, полные К-множества и только они являются множествами. В частности, приняв некоторый алфавит а... К-существо может изучать любое множество слов в этом алфавите, непосредственно исследуя соответствующую полную К-систему. [1]
Следующая теорема в К-конструктивизме служит обоснованием аксиомы выбора. [2]
Не все традиционные подходы к определению действительных чисел проходят в К-конструктивизме. Так, определение их через дедекиндо-во сечение в области рациональных чисел при доказательстве непрерывности требует привлечения таких понятий, как пересечение или объединение несчетного множества множеств рациональных чисел, что непредставимо в К-конструктивизме. [3]
Подчеркнем, что К-конструктивист интерпретирует эту теорему не как утверждение о существовании К-несчетных множеств - их в К-конструктивизме нет и не может быть, а как утверждение о существовании для каждого множества числовых множеств большего ( по включению) множества. [4]
Очевидно, что они ограничены К-конструктивизмом. Отсюда следует простой способ построения аксиом на основе К-конструктивных теорем, гарантирующий непротиворечивость. [5]
Очевидна определенная ограниченность К-конструктивной теории множеств. В силу следующей теоремы невозможно в К-конструктивизме говорить, например, о множестве всех подмножеств множества натуральных чисел. [6]
Фактически доказано существование нумерации без повторений. Отсюда следует, что все бесконечные множества в К-конструктивизме равномощны, т.е. для любых двух бесконечных множеств А, В существует полная взаимно однозначная функция: А - В. [7]
Заметим, что не всякая формулировка классического утверждения конструктивно осмысленна. Например, утверждение для всякого множества А его мощность меньше мощности множества всех подмножеств множества X в таком виде не проходит в К-конструктивизме даже для множества натуральных чисел. [8]
Не все традиционные подходы к определению действительных чисел проходят в К-конструктивизме. Так, определение их через дедекиндо-во сечение в области рациональных чисел при доказательстве непрерывности требует привлечения таких понятий, как пересечение или объединение несчетного множества множеств рациональных чисел, что непредставимо в К-конструктивизме. [9]
Точно также и квантор существования при классическом подходе утверждает существование некоторого объекта, вообще говоря, без какого-либо явного указания как его найти. Существование, таким образом, понимается весьма широко и не обязательно конструктивно. Это становится особенно наглядным при сравнении с К-конструктивизмом, где утверждение о существовании некоторого объекта всегда понимается только конструктивно и означает, что этот объект можно явно построить в виде соответствующей К-системы. [10]