Cтраница 2
Ляпунова) об устойчивости при постоянно действующих возмущениях. При наличии неравенства (23.18) следует воспользоваться теоремой 22.1 при исследовании квазиустойчивости подсистем. [16]
К полученным таким упрощенным способом результатам следет относиться с осторожностью. Случай чисто мнимых характеристических показателей является сомнительным по Ляпунову, если рассматривать линейные уравнения как результат линеаризации соответствующих нелинейных задач. Исключение составляет случай внешнего трения. Если ввести в систему внешнее трение, а затем устремить его к нулю, то получатся условия устойчивости, совпадающие с теми, которые дает упрощенный метод. Чтобы избежать недоразумений, случай нахождения всех характеристических показателей на мнимой оси следует называть квазиустойчивостью, а значения параметров, при которых первая пара показателей покидает мнимую ось, - квазикритическилш параметрами. [17]
Далее, в § 18, 19 доказана теорема об устойчивости системы с возмущениями сложного характера, при которых имеется малый параметр и установлены условия неустойчивости взаимодействующей подсистемы. В § 20 сформулированы условия применимости усредненных уравнений при исследовании нестационарных систем. В § 21 производится оценка притяжения решений усредненных уравнений. Стандартные системы с малыми возмущениями исследованы в § 22 в предположении, что для усредненной системы существует функция Ляпунова, производная которой в силу этой системы тождественно равна нулю. Вопрос об устойчивости положения равновесия связанных стандартных систем решен в § 23 на основе рассмотрения квазиустойчивости подсистем. Применение одной теоремы этого параграфа иллюстрируется на примере системы регулирования, для которой получен конкретный критерий устойчивости движения. В § 24 исследуются решения нелинейных систем со слабым взаимодействием. Эти теоремы могут оказаться полезными при исследовании переходных процессов в крупномасштабных составных системах. В § 25 осуществлено детальное исследование качественного поведения решений систем осцилляторов со слабым нелинейным взаимодействием. В § 26 проводится исследование устойчивости движения двухроторного гирокомпаса, оборудованного двумя успокоителями колебаний. [18]
Критические параметры определялись из условия, что в окрестности их значений хотя бы один из характеристических показателей переходит на правую полуплоскость. Но уравнения линейной теории устойчивости следует рассматривать как результат линеаризации некоторых нелинейных уравнений, описывающих физическую задачу. С точки зрения теории Ляпунова, случай нахождения всех показателей на мнимой оси должен трактоваться как сомнительный, когда линеаризированные уравнения не дают ответа на вопрос об устойчивости. Таким образом, большинство парадоксов дестабилизации вследствие трения являются результатом некритического применения динамического метода. Чтобы устранить двусмысленность в терминологии, было предложено [66] называть случай, когда все характеристические показатели находятся на мнимой оси, квазиустойчивостью, а значения параметров, при которых хотя бы один из показателей переходит на правую полуплоскость, - квазикритическими. Термины устойчивость и критические значения сохраняют при этом строгий смысл. [19]