Cтраница 1
Кейслер в работе Keisler [4] подошел к нестандартной теории марковских процессов с несколько иной точки зрения: он характеризует различные классы стандартных марковских процессов в терминах того, какие они допускают поднятия; он также применяет эту теорию к стохастическим дифференциальным уравнениям. [1]
Кейслер [ 1964Ы с ОКГ; Кунен [1972] без ОКГ. [2]
В определенном смысле результат Кейслера - это лучшее, чего можно ожидать, если предполагать функции / и g только лишь измеримыми. Если мы позволим матрице g вырождаться, то все потенциальные решения уравнения ( 16) могут принимать значения в множестве нулевой меры в Rn; а если f и g - всего лишь измеримые функции, их значения на множестве нулевой меры могут быть произвольными - уравнение вообще теряет смысл. [3]
Теоремой о поднятии в терминологии Кейслера ( см. Keisler [4]) называется такой результат, который характеризует некоторый класс стандартных процессов в терминах того, какие у этих процессов есть поднятия. Предложение 4.3.9 ( iii) есть как раз такая характеризация класса почти наверное измеримых процессов. Две первые части того же предложения не дотягивают до уровня теоремы о поднятии, поскольку мы не определили, какое же в точности стандартное понятие соответствует нестандартному понятию неупреждающего процесса: то ли это понятие предсказуемости, то ли согласованности, то ли что-то промежуточное. Однако в том случае, когда эти классы совпадают, мы получаем из утверждений 4.3.9 ( i) и ( ii) полноценную теорему о поднятии. [4]
Любопытно, что проблема конечного спектра ( приведенная в книге Кейслера и Чэна под номером 1 среди старых проблем теории моделей), неожиданно оказалась связана с центральной проблемой теории сложности вычислений - так называемой проблемой перебора. Проблема конечного спектра состоит в следующем: верно ли, что дополнение ( до N) к спектру любой формулы является спектром некоторой другой формулы. [5]
F), а для того, чтобы работала теорема Андерсона, эта топология должна удовлетворять второй аксиоме счетности В случае Е [0, 1], F Rd Кейслер смог воспользоваться компактно-открытой топологией; но в общем случае эта топология не годится, так как для не локально компактных Е она может не удовлетворять второй аксиоме счетности. Вместо этого мы используем топологию, наиболее удобное описание которой состоит в следующем. [6]
Кроме того, мы включили ряд более новых результатов, которые стимулируют современные и, по всей видимости, будущие исследования. К ним относятся теорема Кейслера - Шелаха об изоморфизме, теорема Морли о категоричности, работы Акса - Кочена и Ершова по теории полей и результаты Роуботтома, Гейфмана и Силвера о больших кардиналах и конструктивном универсуме. [7]
Улам [1930] поставил проблему, существуют ли измеримые кардиналы, и доказал, что каждый измеримый кардинал является недостижимым. Новый этап в работе с измеримыми кардиналами начался с того, что Ханф [1964] и Тарский [1962] показали, что первый недостижимый кардинал слабо компактен и, следовательно, не является измеримым. Кейслер [1962] применил конструкцию ультрапроизведения для того, чтобы дать другое доказательство неизмеримости первого недостижимого кардинала, а затем Скотт [1961] использовал ультрапроизведения, чтобы показать, что существование измеримого кардинала противоречит аксиоме конструктивности. Работы Ханфа и Скотта [1961] и Кейслера и Тарского [1964] показали, что слабо компактные кардиналы очень велики, а измеримые кардиналы - еще больше. С этих пор измеримые кардиналы и ультрапроизведения являются одной из главных тем исследования в теории множеств, особенно в работах Гейфмана, Кунена, Роуботтома, Силвера и Соловея. Некоторые из этих работ излагаются в разд. [8]
Мэдисоне, и установленный им контакт с X. Фактически монография Кейслера Инфинитезимальный подход к стохастическому анализу на разных стадиях работы над текстом служила для нас постоянным источником воодушевления и пищей для интуиции. [9]
Прежде чем Морли доказал гипотезу в общем случае, Вот доказал ее частный случай: если а со есть предельный кардинал и Т категорична во всех мощностях, меньших, чем а, то она категорична в мощности а. Первоначальное доказательство теоремы Морли использовало понятие ранга трансцендентности. Это понятие дает мощный способ классификации типов элементов. Настоящее более простое доказательство выполнено Балдуином и Лахланом, использовавшими методы Кейслера и Марша. Понятие стабильной теории введено Морли, который использовал термин тотально трансцендентная теория. Двумя наиболее любопытными результатами в теории категоричности являются утверждение 7.1.27, принадлежащее Балдуину и Лахлану, и утверждение 7.1.25, принадлежащее Шелаху. [10]
Однако в некоторых, почти безупречных, демонстрациях нельзя было сразу разгадать обман. Швейцарец Турнейсер, алхимик и чудо-доктор, которого переменчивая судьба гоняла по разным странам, однажды наполовину превратил железный гвоздь в золотой, и произошло это на глазах одного кардинала, засвидетельствовавшего письменно: Турнейсер опустил раскаленный гвоздь в красную протраву, и опущенный конец превратился в золото. По-видимому, уже многие годы стыдятся показывать этот гвоздь, после того как было обнаружено, что это - обман и весь фокус заключается в незаметной пайке - так написал Кейслер в своем отчете, опубликованном в 1740 году. [11]
Но не все процессы живут на пространстве Леба; если JV: S X [ О, 1 ] - R - мартингал относительно какой-то фильтрации ( S, Q), что делать тогда. Оказывается, что мартингал N может быть представлен с помощью мартингала N, согласованного с фильтрацией ( Q, fft, L ( P)) на пространстве Леба, через посредство сохраняющего меру булевского а-гомо-морфизма 0, отображающего измеримые по Лебу множества в Q-измеримые множества. Хотя эта процедура и завершает сведение стандартной теории к нестандартной, она не представляется особенно важной. Причина в том, что специалисты в теории вероятностей обычно не заботятся о том, на каком вероятностном пространстве они работают - лишь бы оно было достаточно богатым, чтобы на нем могли быть построены все изучаемые явления. В работах Keisler [4], [5] и Hoover, Keisler [1] показано, что в этом отношении пространство Леба чрезвычайно богато; что происходит на каком-либо вероятностном пространстве, происходит также и на пространстве Леба. Из этого свойства универсальности следует, что мы можем не заботиться о других пространствах; всегда можно считать, что мы работаем на пространстве Леба. Для получения своих результатов Гувер и Кейслер используют понятие элементарной эквивалентности, заимствованное из вероятностной логики; оно дает гораздо более тонкую классификацию процессов, чем привычные классификации в теории вероятностей. Для читателя, имеющего некоторую подготовку в логике, упомянем, что пространства Леба играют в теории вероятностей роль, во многом схожую с ролью насыщенных моделей в теории моделей первого порядка. [12]