Cтраница 1
Кервер и Милнор решали проблему 1.1, используя технику перестроек, которая позволяет в данном классе кобордизма найти многообразие, у которого гомотопические группы до средней размерности нулевые. Для случая, изученного в теореме 1.1, нет препятствия к перестройке гомотопической группы в средней размерности, тем самым в классе кобордизма будет найдена гомотопическая сфера. Кервер и Милнор определили этот инвариант в терминах инварианта Арфа квадратичной формы, которая определена на когомологиях средней размерности того многообразия, которое представляет данный класс кобордизма после соответствующих перестроек. Заметим, что это определение достаточно сложное. Доказательство Браудера теоремы 1.2 требует привлечения технических соображений и выражает инвариант Кервера через гомотопическую группу некоторого комплекса Тома. Адамса выживает на бесконечности. [1]
Многообразия Кервера Ktk 2 размерности 2, 6, 14 представляют собой произведения сфер 52 1X52ft 1, k0, I, 3, с выкинутой открытой клеткой, а все другие многообразия Кервера не гомеоморфны произведениям сфер с выкинутой клеткой. [2]
Мы проводим геометрическое доказательство этого результата, используя представление инварианта Кервера в терминах кратных точек погруженных многообразий. [3]
Для п 2 ( mod 4) если п 2 не является степенью 2, тогда инвариант Кервера произвольного погружения Nn - t Mn 1 ориентированного многообразия равен О и тем самым это погружение кобордантно погружению гомотопической сферы. [4]
При 4 / с 22 - 2 и тех значениях i, где существует многообразие с ненулевым инвариантом Кервера, М xStk 1, то есть 64 1 ( 3я) 0, но вопрос об описании всех таких не решен ( 1982), хотя при i6 ответ положителен. [5]
Ими же было доказано, что для n 2 ( mod 4) проблема, вообще говоря, решается не всегда, и препятствие к ее решению называется инвариантом Кервера исходного погружения. Им было построено погружение тора Sl x S1 - К3, которое не кобордантно гомотопической сфере. Кервер [13] доказал, что для n 10 произвольное погружение кобордантно погружению гомотопической сферы. Результат Кервера был обобщен вначале Брауном и Петер-соном [7] на случай n 2 ( mod 8) ( и n 2) и затем Браудером, который доказал следующее. [6]
Многообразия Кервера Ktk 2 размерности 2, 6, 14 представляют собой произведения сфер 52 1X52ft 1, k0, I, 3, с выкинутой открытой клеткой, а все другие многообразия Кервера не гомеоморфны произведениям сфер с выкинутой клеткой. [7]
В частности, как показали Милнор и Кервер, из теорем Ботта следует непараллелизуемость сфер S1 для i. Адамса об инварианте Хопфа ( см. § 1), полученных примерно одновременно. [8]
Ими же было доказано, что для n 2 ( mod 4) проблема, вообще говоря, решается не всегда, и препятствие к ее решению называется инвариантом Кервера исходного погружения. Им было построено погружение тора Sl x S1 - К3, которое не кобордантно гомотопической сфере. Кервер [13] доказал, что для n 10 произвольное погружение кобордантно погружению гомотопической сферы. Результат Кервера был обобщен вначале Брауном и Петер-соном [7] на случай n 2 ( mod 8) ( и n 2) и затем Браудером, который доказал следующее. [9]
Кервер и Милнор решали проблему 1.1, используя технику перестроек, которая позволяет в данном классе кобордизма найти многообразие, у которого гомотопические группы до средней размерности нулевые. Для случая, изученного в теореме 1.1, нет препятствия к перестройке гомотопической группы в средней размерности, тем самым в классе кобордизма будет найдена гомотопическая сфера. Кервер и Милнор определили этот инвариант в терминах инварианта Арфа квадратичной формы, которая определена на когомологиях средней размерности того многообразия, которое представляет данный класс кобордизма после соответствующих перестроек. Заметим, что это определение достаточно сложное. Доказательство Браудера теоремы 1.2 требует привлечения технических соображений и выражает инвариант Кервера через гомотопическую группу некоторого комплекса Тома. Адамса выживает на бесконечности. [10]
Ими же было доказано, что для n 2 ( mod 4) проблема, вообще говоря, решается не всегда, и препятствие к ее решению называется инвариантом Кервера исходного погружения. Им было построено погружение тора Sl x S1 - К3, которое не кобордантно гомотопической сфере. Кервер [13] доказал, что для n 10 произвольное погружение кобордантно погружению гомотопической сферы. Результат Кервера был обобщен вначале Брауном и Петер-соном [7] на случай n 2 ( mod 8) ( и n 2) и затем Браудером, который доказал следующее. [11]
Общий случай до сих пор не исследован. Для п 6 и п 14 существуют погружения коразмерности 1 многообразий S3 x S3 и S7 x S7, которые не кобордантны гомотопическим сферам. До сих пор не известно, существуют ли подобные примеры в старших размерностях. Это и есть проблема об инвариантах Кервера. [12]
Кервер и Милнор решали проблему 1.1, используя технику перестроек, которая позволяет в данном классе кобордизма найти многообразие, у которого гомотопические группы до средней размерности нулевые. Для случая, изученного в теореме 1.1, нет препятствия к перестройке гомотопической группы в средней размерности, тем самым в классе кобордизма будет найдена гомотопическая сфера. Кервер и Милнор определили этот инвариант в терминах инварианта Арфа квадратичной формы, которая определена на когомологиях средней размерности того многообразия, которое представляет данный класс кобордизма после соответствующих перестроек. Заметим, что это определение достаточно сложное. Доказательство Браудера теоремы 1.2 требует привлечения технических соображений и выражает инвариант Кервера через гомотопическую группу некоторого комплекса Тома. Адамса выживает на бесконечности. [13]