Cтраница 1
Теорема о голономной аппроксимации, которую мы обсуждаем в этой главе, утверждает, что в некотором смысле имеется неожиданно много голономных сечений вблизи любого подмногообразия А с V положительной коразмерности. [1]
Теорема о параметрической голономной аппроксимации 3.1.2 выводится из теоремы 3.7.1 точно так же, как теорема о голономной аппроксимации выводится из теоремы 3.2.1, т.е. с помощью индукции по остовам и симплексам триангуляции. [2]
Проблема построения голономной аппроксимации сечения пространства r - струй вблизи некоторого подмногообразия А с R также, как правило, является неразрешимой. Единственным исключением является нульмерный случай: любое сечение можно аппроксимировать вблизи любой точки г-струей соответствующего полиномиального отображения Тейлора. [3]
Доказательство этой теоремы буквально повторяет доказательство теоремы о голономной аппроксимации 3.1.1. Локальная интегрируемость обеспечивает реализацию первого шага индукции при построении голономной 7 -аппроксимации над кубом. Далее, микрогибкость позволяет доказать соответствующую версию леммы об интерполяции 3.5.1, необходимой для доказательства индукционной леммы 3.4.1. Наконец, при индуктивном построении искомого аппроксимирущего голономного сечения по остовам триангуляции полиэдра А лемма о продолжении гомотопий формальных решений 13.2.2 позволяет нам продолжать голономные решения, полученные на очередном шаге индукции, на ОрА в классе формальных решений. [4]
Метод доказательства / г-принципа, основанный на теореме о голономной аппроксимации, хорошо работает для открытых многообразий. В случае замкнутых многообразий его применение требует некоторого дополнительного приема, называемого микрорасширением. Метод голономной аппроксимации пригоден также для замкнутых дифференциальных соотношений, обладающих свойством микрогибкости. Наиболее интересные приложения такого рода относятся к симплектической геометрии. Эти приложения обсуждаются в третьей части книги. Для удобства читателя в этой же части содержится обзор основных понятий симплектической геометрии. [5]
Первые три части книги посвящены весьма общей теореме о голономной аппроксимации сечений струйных расслоений и приложениям этой теоремы. VQ / г ( 1 / о), где h: V - V является - малым диффеоморфизмом. [6]
Контрастируя с вышесказанным, следующая теорема утверждает, что мы всегда можем найти голономную аппроксимацию любого сечения F: V - Х вблизи слегка деформированного подмногообразия А с V, если исходное подмногообразие А с V имеет положительную коразмерность. [7]
Теорема о параметрической голономной аппроксимации 3.1.2 выводится из теоремы 3.7.1 точно так же, как теорема о голономной аппроксимации выводится из теоремы 3.2.1, т.е. с помощью индукции по остовам и симплексам триангуляции. [8]
Громова о направленных вложениях и некоторые другие случаи выполнения / z - принципа являются непосредственными следствиями теоремы о голономной аппроксимации. [9]
Пусть / о, f: Sl - R2 - два погружения и ( / т, ут) - гомотопия формальных погружений, соединяющая ( / о / о) и ( / i / i), т.е. МО т О - Рассмотрите расширения / 0, f: S1 х ( - е, е) - R2 сечений / о, / i и расширение F Sl х ( - е, е) - Jl ( Sl х ( - е, е), R2) гомотопии / и примените теорему о параметрической голономной аппроксимации 3.1.2 ( ср. [10]
Построим голономную аппроксимацию / - сечения FU над К hl ( K) С V, где / гт - ( сколь угодно) С - малая диффеотопия, и продолжим а на все многообразие V. [11]
Мы рассматриваем здесь два геометрических метода: метод голономной аппроксимации, который является новой версией метода непрерывных пучков, и метод выпуклого интегрирования. Громова [ Gr86 ], а, скорее, хотим подготовить читателя к попытке увидеть скрытые в ней сокровища идей. С другой стороны, читатель, интересующийся приложениями, обнаружит, что, за исключением нескольких важных тем ( таких как теория Локампа [ Lo95 ] отрицательной кривизны Риччи и теория Дональд-сона [ Do96 ] приближенно голоморфных сечений), большинство известных в настоящее время проявлений / z - принципа могут быть изучены методами, рассматриваемыми в этой книге. [12]
Эта книга написана с целью дать доступное изложение теории / г-принципа, лежащей на стыке между анализом и геометрией. Авторы излагают два метода доказательства / z - принципа: голономную аппроксимацию и выпуклое интегрирование. [13]
Метод доказательства / г-принципа, основанный на теореме о голономной аппроксимации, хорошо работает для открытых многообразий. В случае замкнутых многообразий его применение требует некоторого дополнительного приема, называемого микрорасширением. Метод голономной аппроксимации пригоден также для замкнутых дифференциальных соотношений, обладающих свойством микрогибкости. Наиболее интересные приложения такого рода относятся к симплектической геометрии. Эти приложения обсуждаются в третьей части книги. Для удобства читателя в этой же части содержится обзор основных понятий симплектической геометрии. [14]