Cтраница 2
В работах ( Oliger, 1974, 1976) рассматриваются соответственно нецентральные и центральные разностные аппроксимации уравнений (1.1) высоких порядков точности по пространственной координате внутри расчетной области. Они сочетаются со схемами третьего и второго порядков около границ. [16]
В § 1 данной главы описаны две модели нефтяного пласта, первая из которых использует матрицу коэффициентов взаимовлияния, вторая основана на разностной аппроксимации уравнения в частных производных, описывающих процесс фильтрации. Вторая модель носит в некоторой степени эмпирический характер, так как не обоснована близость оптимальных решений для непрерывной и разностной ( при мелкой сетке) постановок задачи, да и сама непрерывная задача сформулирована теоретически недостаточно четко. [17]
Наличие такого разложения позволяет упростить процедуру обращения матриц. В случае разностных аппроксимаций уравнений эллиптического типа матрица С является трехдиагональной, в го-время как C [ h - матрицы общей структуры. [18]
Несмотря на скромные преимущества метода последовательной верхней релаксации по линиям в приведенном выше примере, этот метод имеет значительные преимущества в принципе. Например, при девятиточечной разностной аппроксимации уравнения Лапласа матрица не обладает свойством ( А), но принимает блочно тридиагональную форму (22.56), когда мы используем линии как блоки. [19]
Разностное уравнение (1.2), имеющее естественную нормировку, обеспечивает сходимость рассматриваемого приближенного решения к точному при выполнении известных условий аппроксимации и устойчивости. Модифицированный многослойный разностный метод отличается от известных тем, что число временных слоев k, используемых при решении разностной аппроксимации уравнения (1.1), увеличивается на единицу при переходе к каждому последующему временному слою. При этом k фактически становится порядковым номером временного слоя. Для расчета всех k слоев используется один и тот же алгоритм. Расчет можно вести с переменным временным шагом Ат, предельная величина которого определяется спецификой и, главным образом, требуемой точностью решения конкретных инженерных задач. [20]
Ri, входящие в уравнения модели (1.68) - ( 1.69 х), полагаются кусочно-постоянными. В первом случае число областей постоянства для первых двух функций полагается равным числу узлов сетки при переходе к разностной аппроксимации исходных непрерывных уравнений, причем значения во внутренних узлах определяются интерполяцией значений в точках, соответствующих скважинам, и именно эти значения подлежат идентификации. [21]
Уравнение (10.29) - обычное уравнение движения с точно таким же выражением для силы, как и (10.12), а именно с градиентом интерполированного потенциала, а не интерполированной первой производной потенциала. Связь этой характеристики с существованием сохранения энергии показана в § 10.3. В одномерном случае при линейной функции S получим из (10.30) наипростейшую разностную аппроксимацию уравнения Пуассона. [22]
Дискретный принцип максимума получается почти по такой же схеме, но вместо дифференциальных уравнений в выкладках участвуют их разностные аппроксимации. И вот здесь появляется упомянутое реальное следствие дискретной теории: разностное уравнение для сопряженного уравнения является следствием того или иного выбора аппроксимаций для прямого уравнения и для интеграла в тождестве Лагранжа. Разностная аппроксимация уравнения в вариациях также однозначно определяется выбором аппроксимации исходного уравнения, но это не так важно, так как в вычислительных методах обычно это уравнение не интегрируется. Это и есть то единственное практическое следствие, которое автор смог извлечь из теории дискретного принципа максимума и которого в своих вычислениях никогда не использовал ни в явной, ни в неявной формах. Автор всегда выбирал для исходного и сопряженного уравнений независимые аппроксимации, причем сопряженное обычно интегрировалось более грубо, с большим шагом по времени. Дело в том, что использование согласованной аппроксимации связано с определенными техническими неудобствами, необходимость преодоления которых не очевидна. Во всяком случае, автору неизвестны трудности численного решения задач оптимального управления, которые можно было бы преодолеть, используя согласованную аппроксимацию. [23]
Таким образом, перестановочность является следствием того, что At и Л2 - операторы с постоянными коэффициентами и область G - прямоугольная. Нарушение хотя бы одного из этих условий приводит, как правило, к нарушению перестановочности. Предположение о перестановочности является, видимо, основным ограничением теоремы 1, не позволяющим применить ее к более общим разностным аппроксимациям уравнений эллиптического типа. [24]