Cтраница 1
Согласованная аппроксимация в разностных схемах типа С. К. Годунова для решения одномерных задач газовой динамики, Ж вычисл. [1]
Для согласованной аппроксимации устойчивость является необходимым и достаточным условием сходимости ( Рихтмайер и Мор-тон. [2]
Для согласованной аппроксимации устойчивость является необходимым и достаточным условием сходимости. [3]
Такая запись делает наглядным условие единой согласованной аппроксимации для всех матриц на границе. [4]
При этом желательно использование полностью консервативных разностных схем, которые вследствие согласованной аппроксимации отдельных уравнений сводят к минимуму влияние дисбалансных членов. Впервые полностью консервативная схема применительно к задачам многофазной фильтрации была построена Б.В. Шалимовым для модели Маскета-Мереса. [5]
Рассмотренные ниже задачи для однородных изотропных тел решены на основе варианта этой схемы, включающего, кроме кусочно-линейной аппроксимации по времени, согласованную аппроксимацию перемещений и поверхностных сил по границе тела ( кусочно-линейную для перемещений и кусочно-постоянную для поверхностных сил), порождаемую аппроксимацией границы тела с помощью биквадратичных вось-миузлозых граничных элементов. Решение всех рассмотренных задач осуществлено с помощью программы на языке ФОРТРАН, приведенной в приложении ( с. При описании примеров используются следующие обозначения: - модуль сдвига, с - скорость поперечных упругих волн, А - шаг по времени. [6]
Погорелов, Семенов ( 1996) описали подход, основанный на двух неотражающих условиях: экстраполяционном условии на сверхзвуковом выходе, которое обеспечивает характеристически согласованную аппроксимацию уравнений на границе, и условии в волне разрежения. Идея применения условий в волне разрежения для реализации граничных условий в дальнем поле тесно связана с искусственным расположением звуковой точки на выходной границе. Если течение является сверхзвуковым на бесконечности такая процедура дает приемлемые результаты и позволяет проводить вычисления в тех случаях, когда другие известные подходы являются безуспешными. Другой интерпретацией этого метода является следующая. Предположим, что параметры внутри выбранной расчетной области полностью определяют поведение решения вне границы. В случае дозвукового выхода, для описанных начальных условий, единственной возможной элементарной конфигурацией в решении задачи Римана является волна разрежения, веер которой покрывает границу. В этом случае, если известно значение автомодельной переменной, можно локально продолжить внутреннее течение до границы. Поэтому недостающее граничное условие обеспечивается предположением о том, что скорость потока достигает звукового значения на ней. [7]
Из (3.8) следует, что аппроксимация межблочных проводимо-стей средним гармоническим, как и (3.3), приводит в общем случае к несогласованной аппроксимации выражения (3.2) для б л очно-центрированной сетки и к согласованной аппроксимации для сетки с распределенными узлами. [8]
Выбор других аппроксимаций по координате 6 будет нарушать энергетическое тождество или закон изменения кинетической энергии дискретной системы, что при расчетах с большим числом шагов по времени может существенно исказить результаты. Использование энергетически согласованных аппроксимаций или полностью консервативных схем позволяет получать близкие к физическим численные результаты даже на крупных или грубых сетках и длительных временах моделирования динамических процессов деформирования. [9]
Приведены дискретные модели и результаты расчетов динамики осесимметричных оболочек, балок и пластин при импульсной нагрузке. Для построения явной консервативной схемы применена энергетически согласованная аппроксимация силовых и деформационных величин. Результаты расчета представлены серией графиков изменения формы пластин и оболочек в процессе деформирования и контактного взаимодействия с жестокой преградой. [10]
Однако, если хг-радиальная координата, то не ясно, является ли среднее арифметическое значение координат наилучшим для определения границ между узлами. Как указывалось в работе Сеттари и Азиза ( 1974), согласованная аппроксимация обеспечивается в различных случаях. [11]
Это дает основание надеяться на получение минимума с большим числом знаков. Однако такое преимущество представляется сомнительным: ведь на этом этапе мы уточняем не значение исходного функционала непрерывной задачи, а лишь те его знаки, которые определяются ошибкой выбранного способа его разностной аппроксимации. В § 26 приведен пример ( решение задачи о брахистохроне), в кото-ром все же была использована согласованная аппроксимация. [12]
В общем случае не представляется возможным доказать сходимость конечно-разностных уравнений фильтрации к дифференциальным. Это связано, во-первых, с сильной нелинейностью уравнений, особенно по проводимостям, и во-вторых, с необходимостью определения эффективных характеристик для каждого расчетного блока, обусловленной неоднородным строением пластов. Устойчивость является необходимым, но не достаточным условием сходимости. Так, например, устойчивая и согласованная аппроксимация межблочных проводимостей средним гармоническим (3.7) обеспечивает сходимость в случае линейной задачи, соответствующей однофазной фильтрации, и приводит к неверному результату в двухфазном случае. [13]
Дискретный принцип максимума получается почти по такой же схеме, но вместо дифференциальных уравнений в выкладках участвуют их разностные аппроксимации. И вот здесь появляется упомянутое реальное следствие дискретной теории: разностное уравнение для сопряженного уравнения является следствием того или иного выбора аппроксимаций для прямого уравнения и для интеграла в тождестве Лагранжа. Разностная аппроксимация уравнения в вариациях также однозначно определяется выбором аппроксимации исходного уравнения, но это не так важно, так как в вычислительных методах обычно это уравнение не интегрируется. Это и есть то единственное практическое следствие, которое автор смог извлечь из теории дискретного принципа максимума и которого в своих вычислениях никогда не использовал ни в явной, ни в неявной формах. Автор всегда выбирал для исходного и сопряженного уравнений независимые аппроксимации, причем сопряженное обычно интегрировалось более грубо, с большим шагом по времени. Дело в том, что использование согласованной аппроксимации связано с определенными техническими неудобствами, необходимость преодоления которых не очевидна. Во всяком случае, автору неизвестны трудности численного решения задач оптимального управления, которые можно было бы преодолеть, используя согласованную аппроксимацию. [14]
Дискретный принцип максимума получается почти по такой же схеме, но вместо дифференциальных уравнений в выкладках участвуют их разностные аппроксимации. И вот здесь появляется упомянутое реальное следствие дискретной теории: разностное уравнение для сопряженного уравнения является следствием того или иного выбора аппроксимаций для прямого уравнения и для интеграла в тождестве Лагранжа. Разностная аппроксимация уравнения в вариациях также однозначно определяется выбором аппроксимации исходного уравнения, но это не так важно, так как в вычислительных методах обычно это уравнение не интегрируется. Это и есть то единственное практическое следствие, которое автор смог извлечь из теории дискретного принципа максимума и которого в своих вычислениях никогда не использовал ни в явной, ни в неявной формах. Автор всегда выбирал для исходного и сопряженного уравнений независимые аппроксимации, причем сопряженное обычно интегрировалось более грубо, с большим шагом по времени. Дело в том, что использование согласованной аппроксимации связано с определенными техническими неудобствами, необходимость преодоления которых не очевидна. Во всяком случае, автору неизвестны трудности численного решения задач оптимального управления, которые можно было бы преодолеть, используя согласованную аппроксимацию. [15]