Cтраница 2
А вложима в 2 - ( и даже конечно) порожденную метабелеву группу В. Одна из причин этого - финитная аппроксимируемость В, которая в случае вложимости А в В переносится на А. Нельзя, например, взять AQ или ЛС ( р), так как делимые группы не финитно аппроксимируемы. В конечно порожденных нильпо-тентных и, более общо, полициклических группах любая подгруппа также конечно порождена. Любая конечно порожденная нильпотентная [ полициклическая ] группа вложнма в 2-порожденную нильпотентную [ полициклическую ] группу. [16]
А вложима в 2 - ( и даже конечно) порожденную метабелеву группу В. Оа на из причин этого - финитная аппроксимируемость В, которая в случае вложимости А в В переносится на А. Нельзя, например, взять / 4Q или А - С ( р), так как делимые группы не финитно аппроксимируемы. В конечно порожденных нильпо-тентных и, более общо, полициклических группах любая подгруппа также конечно порождена. Любая конечно порожденная нильпотентная [ полициклическая ] группа вложима в 2-порожденную нильпотентную [ полициклическую ] группу. [17]
С другой стороны, фактор-группы от групп, имеющих указанное в теореме 5 строение, имеют то же строение и потому не могут быть квазицикличе-скими р-группами. В силу сделанного выше замечания это влечет за собой финитную аппроксимируемость всех фактор-групп, что и требовалось. [18]
Алгебра Л, каждая подалгебра которой отделима от всех не входящих в нее элементов, будет называться финитно отделимой алгеброй. При Достаточно общих предположениях легко показывается, что финитная отделимость является более сильным свойством, чем финитная аппроксимируемость. В настоящей статье подробно изучается строение разрешимых групп, обладающих свойством финитной отделимости. [19]
В статье [6] получены важные результаты о представлениях бесконечных групп матрицами. Среди этих результатов отметим локальную теорему для класса групп, представимых матрицами заданной степени, а также теорему о финитной аппроксимируемости конечно порожденной линейной группы. Из последней теоремы вытекает, в частности, впервые полученное А. И. Мальцевым утверждение о финитной аппроксимируемости свободной группы. Локальная теорема о линейной представимости группы была использована А. И. Мальцевым в статье [25] для доказательства счетности локально свободных групп конечного общего ранга. [20]
С другой стороны, в работе автора [8] была доказана финитная аппроксимируемость матричных групп с конечным числом порождающих, а тем самым и произвольных свободных групп и свободных произведений финитно аппроксимируемых групп. Финитная аппроксимируемость свободных групп была позже независимо доказана К. Финитная аппроксимируемость разрешимых групп с условием максимальности для под-трупп установлена К. [21]
Полугруппа вложима в группу тогда ( и, очевидно, только тогда), когда каждый ее элемент потенциально обратим ( см. [9], с. Простое достаточное условие финитной аппроксимируемости состоит в том, что каждый элемент полугруппы имеет лишь конечное число делителей; этому условию удовлетворяют, например, свободные, свободные коммутативные и свободные п-нильпотент-ные полугруппы. Он также замкнут относительно свободных произведений, ординальных сумм, но не замкнут относительно идеальных расширений. [22]
В статье [6] получены важные результаты о представлениях бесконечных групп матрицами. Среди этих результатов отметим локальную теорему для класса групп, представимых матрицами заданной степени, а также теорему о финитной аппроксимируемости конечно порожденной линейной группы. Из последней теоремы вытекает, в частности, впервые полученное А. И. Мальцевым утверждение о финитной аппроксимируемости свободной группы. Локальная теорема о линейной представимости группы была использована А. И. Мальцевым в статье [25] для доказательства счетности локально свободных групп конечного общего ранга. [23]
Модификацией понятия финитной аппроксимируемости является финитная аппроксимируемость относительно предикатов. Пусть я-предикат, выделяющий свойства элементов и ( или) подмножеств полугруппы. Полугруппа S называется финитно аппроксимируемой относительно предиката я, если для любой комбинации значений элементов [ ai) и ( или) подмножеств М /, при которой значение я ложно, существует такой гомоморфизм р полугруппы S в конечную полугруппу, что значение л для c - f и ( или) Af / ф также ложно. Обычная финитная аппроксимируемость соответствует в этом определении предикату равенства. Полугруппу, ф.а. относительно вхождения элемента в подполугруппу, называют финитно отделимой. [24]
В силу конечной определенности полициклической группы G / A модуль А получается конечно порожденным, а групповое кольцо Z ( G / A) удовлетворяет условию максимальности для правых идеалов. Многие вопросы об Шр-группах удается переформулировать и решить в терминах модулей над групповыми кольцами полициклических групп. Основополагающей в этом направлении является теорема Роузблейда - - Холла: если К - алгебраическое расширение конечного поля и G - почти полициклическая группа, то всякий простой / CG-модуль конечномерен. Так как любая группа аппроксимируется своими монолитическими факторгруппами, то всякая конечно порожденная Шр-группа является финитно аппроксимируемой группой. Для широкого класса конечно порожденных Шр-групп получен более тонкий вариант финитной аппроксимируемости. Именно, пусть G - конечно порожденная группа с абелевой нормальной подгруппой А, такой, что G / A полицик-лична. Если А является р-группой, то G почти вся аппроксимируется конечными р-группами. [25]
В силу конечной определенности полициклической группы G / A модуль А получается конечно порожденным, а групповое кольцо Z ( G / A) удовлетворяет условию максимальности для правых идеалов. Многие вопросы об Slip-группах удается переформулировать и решить в терминах модулей над групповыми кольцами полициклических групп. Основополагающей в этом направлении является теорема Роузблейда - Холла: если К. G - почти полициклическая группа, то всякий простой / ( G-модуль конечномерен. Так как любая группа аппроксимируется своими монолитическими факторгруппами, то всякая конечно порожденная 5Рр - группа является финитно аппроксимируемой группой. Для широкого класса конечно порожденных 9Щ5 - групп получен более тонкий вариант финитной аппроксимируемости. Именно, пусть G - конечно порожденная группа с абелевой нормальной подгруппой А, такой, что G / A полицик-лична. Если А является р-группой, то G почти вся аппроксимируется конечными р-группами. [26]