Cтраница 3
Все рассмотренные методы механики справедливы лишь для систем с конечным или счетным числом степеней свободы. Однако известны механические задачи; связанные с исследованием непрерывных систем, например задача о колебании упругого тела. Здесь мы имеем дело с непрерывной системой, каждая точка которой принимает участие в колебаниях. Поэтому движение этого тела может быть описано только посредством задания координат всех его точек как функций времени. Развитые нами ранее методы нетрудно модифицировать так, чтобы распространить их и на эти задачи. Наиболее прямой метод такого распространения состоит в аппроксимации непрерывной системы дискретной и последующем переходе к пределу в уравнениях движения. [31]
Более сложными являются задачи для ударника в виде двух - или трехмерного упругого тела. Конечноразностные методы использованы в монографии В. М. Сеймова, Б. Н. Островерха и А. И. Ермоленко [23] и статьях М. Д. Бородай [3, 4] в задачах о колебаниях упругих тел на упругом полупространстве. Распределенная нагрузка приложена к торцу штампа. Для полуплоскости использованы интегральные преобразования, а для штампа - метод конечных разностей. [32]
В рамках одной книги трудно охватить все явления, специфика которых в той или иной мере связана с проявлением взаимодействия между двумя указанными типами волновых движений. Однако круг рассмотренных здесь задач, по нашему мнению, позволяет показать основные проявления этого взаимодействия в ряде последовательно возрастающих по трудности решения задач о распространении волн и колебаниях упругих тел. [33]
Действие этих факторов и вызвано, если не принимать во внимание погрешности и несовершенства методики экспериментов, отличие реальной картины распределения напряжений по лопаткам от теоретической. Прежде всего это отличие может быть связано с тем, что при построении теоретического распределения напряжений было сделано предположение о совпадении форм колебаний реального и поэтому несколько асимметричного рабочего колеса, с формами колебаний упругого тела, обладающего строгой поворотной симметрией. Кроме того, оно приведет также к тому, что искаженные собственные формы, имевшие номинально т узловых диаметров, будут поддерживаться не только m - й гармоникой, но, возможно, и другими гармониками. [34]
Если в качестве базисных используются функции метода конечных элементов в том виде, в каком они были построены в главе 4, то размерность системы интегро-дифференциальных уравнений динамической вязкоупругости очень велика, что не позволяет добиваться высокой точности расчетов. Более эффективным оказался метод, расщепляющий алгоритм решения на два этапа: на первом этапе с помощью метода конечных элементов строится новая система базисных функций, совпадающих с формами собственных колебаний соответствующего упругого тела, на втором этапе по методу § 5.1 строится система интегро-дифференциальных уравнений по времени относительно коэффициентов разложения решения по собственным формам колебаний упругого тела. Использование этой методики позволяет значительно сократить число уравнений по времени без снижения точности расчетов. [35]
В поведении остальных ветвей третьего семейства ( пронумерованных цифрами 2 - 7) обнаруживается ряд особенностей, на которые следует обратить внимание. Видно, что каждая из них образована последовательно чередующимися участками, соответствующими убыванию собственных частот с ростом R, и участками, характеризующимися возрастанием собственных частот с ростом R. Само по себе наличие вторых участков является в определенной степени примечательным, поскольку указывает на существование таких типов движения в высокочастотной области, которые трудно было предсказать на основе представлений о колебаниях упругих тел, выработанных в рамках теорий стержней и пластин. [36]
Первое исследование распределений заставляет думать о гармонических соотношениях, которые встречаются в акустике, но различие очень большое. Дело не только в том, что частоты колебаний не представляют последовательных кратных одного и того же числа, но мы даже не находим здесь никакого аналога корням тех трансцендентных уравнений, к которым нас приводят многие проблемы математической физики: проблема колебаний упругого тела произвольной формы, проблема осцилляции Герца в вибраторе какой-либо формы, задача Фурье при охлаждении твердого тела. Законы более простые, но совершенно иной природы. В качестве примера одного из отличий упомянем, что для высших гармоник число колебаний стремится к конечному пределу, вместо того чтобы расти бесконечно. В этом все еще не отдают себе отчета, но я думаю, что именно здесь находится одна из наиболее важных тайн природы. Линдеман сделал похвальную попытку, однако, на мой взгляд, безуспешную. [37]
В книге описываются закономерности волновых движений в иде-1 ально упругом теле. Основным отличием такой среды от идеальной сжимаемой жидкости в акустике и от эфира в электродинамике является существование в ней, а в случае наличия границ и постоянное превращение друг в друга, двух различных по свойствам типов волн - волн расширения и сдвига. Можно сказать, что все вопросы, рассмотренные в данной книге, должны раскрыть специфику волновых процессов в упругих телах, обусловленную взаимодействием этих двух типов волн при наличии граничных поверхностей. Таким взаимодействием обусловлен чрезвычайно широкий круг особых явлений в процессах колебаний упругих тел и распространения волн в них. В качестве примеров здесь достаточно упомянуть известное явление существования поверхностной волны в упругом полупространстве и менее изученные вопросы, относящиеся к специфике собственных колебаний упругих тел конечных размеров. [38]
Мы иногда встречаем одну и ту же закономерность в разных областях природы, как если бы число закономерностей было крайне лимитировано. Закономерность, которую математики обозначают Ду, встречается более чем в десятке различных областей науки. Она возникает в связи с такими явлениями, как тяготение, свет, звук, теплота, магнетизм, электростатика, электрический ток, электромагнитные излучения, морские волны, полет самолета, колебания упругих тел и строение атома, не говоря уже об одной чисто математической теории первостепенной важности - теории функций комплексного переменного. [39]
Познакомиться с квантовой механикой можно, только поняв ее математическую сторону. Именно это является причиной затруднений, на которые наталкивается химик, так как необходимые математические сведения несколько выходят за пределы курса, который обычно изучают химики, а физическая интерпретация математических результатов в квантовой механике представляется необычной, а то и совсем странной. Для того чтобы упростить изучение такого странного предмета, имеет смысл познакомиться с некоторыми математическими вопросами на примерах более привычных физических проблем. Если овладеть таким образом математическим аппаратом, то ознакомление с новыми представлениями о поведении материи, к которым приводит нас квантовая механика, будет происходить более просто. К счастью, классическая теория колебаний упругих тел является превосходным тренировочным полем, на котором можно научиться многому из того, что потребуется для понимания квантовой механики. Вместе с тем дело не только в том, что математическая трактовка колебаний очень близка к значительной части квантовой механики, но и в том, что теория колебаний сама по себе представляет большой интерес. Поэтому перед тем, как переходить к квантово-механической теории, мы считаем полезным посвятить некоторое время изучению обычных колебаний. [40]
При выводе уравнения ( ос) величина h рассматривается как малая. Поэтому теория Лагранжа есть теория длинных волн, как и принято ее сейчас называть. Сам Лагранж приписывал ей чрезмерную общность: он ссылается на то, что волнение на поверхности жидкости ненамного проникает в ее глубь ( в океанах, например, на глубине около 30 м почти не ощутимы самые мощные бури), и поэтому полагал, что можно считать волны распространяющимися на поверхности потока 272 незначительной глубины. Однако теория и опыт показывают, что выводы Лагранжа применимы как хорошее приближение лишь при малых глубинах. Во всяком случае теория Лагранжа является первой успешной попыткой гидродинамического анализа одного из видов волн на поверхности тяжелой жидкости. Вместе с работами о колебаниях упругих тел она составляет основное, что дал XVIII в. [41]
Подобных моделей известно много. Их классифицируют по группам. Например, к первой относят такие, в которых длительность и интенсивность силового воздействия могут считаться заданными. Здесь речь идет о воздействии на конструкцию, скаякм, взрыва газовоздушной смеси. Ко второй группе относят те, в которых предварительно заданы жесткости, массы и взаимные скорости соударяющихся тел. Возникающие здесь усилия и перемещения определяются в ходе самого расчета параметров колебательного процесса. Третью группу моделей составляют такие, которые описывают колебания упругих тел, закрепленных внутри объекта, встряхиваемого с заданным ускорением. На этом остановим перебор вариантов начальных условий. [42]