Cтраница 1
Формальная арифметика ( number theory) служит формализацией арифметики ( arithmetic) неотрицательных целых чисел. [1]
Классическая формальная арифметика FA есть по определению система FA ( 7) для случая, когда множество U пусто. [2]
Интуиционистская формальная арифметика НА ( 7) ( арифметика Рейтинга ] отличается лишь в одном отношении от классической теории FA ( 7): а именно, в НА ( 7) используется интуиционистское исчисление предикатов НРС вместо классического СРС. [3]
Если формальная арифметика - непротиворечива, то формула Vy Ai ( p, у), построенная выше, представляет собой пример неразрешимой формулы. [4]
Из со-непротиворечивости формальной арифметики вытекает ее простая непротиворечивость. В силу со-непротиворечивости системы это означает, что формула - VxP ( x), совпадающая фактически с формулой Р, недоказуема. [5]
S часто берут конечно аксиоматизированную формальную арифметику. [6]
Эта интерпретация называется стандартной интерпретацией языка формальной арифметики. [7]
Элементарная теория чисел может излагаться на языке формальной арифметики, к-рып является языком 1-го порядка. Аксиоматическая теория множеств Цермело - Френкеля также развивается в языке 1-го порядка. [8]
Каждый примитивно рекурсивный предикат нуме-рически выразим в формальной арифметике. [9]
Наконец, язык Ям 1 содержит все формулы формальной арифметики. С помощью алгоритма выявления конструктивной задачи по Шанину [4] всякая замкнутая формула ф языка Яо i может быть приведена к виду Зж яр ( х), где i ( х) - формула языка Ящ. Формула Ф считается верной, если осуществимо натуральное число п такое, что ф ( п) верна в Ям. Такое понимание суждений арифметики хорошо согласовано со всеми основными принципами конструктивной математики. [10]
N Если Г - Е в интуиционистской системе формальной арифметики и формулы Г истинны, то Е истинна. Аналогично в классической формальной системе арифметики. [11]
Существует счетная интерпретация, элементарно эквивалентная стандартной интерпретации языка формальной арифметики, но не изоморфная ей. [12]
В этом состоит основное содержание классической теоремы Геделя о неполноте формальной арифметики. [13]
Таким образом, модель ШТ, рассматриваемая как интерпретация языка формальной арифметики, не изоморфна стандартной модели арифметики ОТ. [14]
Заметим, что возможность эффективного задания предикатов не связана непременно с использованием аппарата формальной арифметики. О истинен, и значение I - на всех тех наборах, на которых предикат Р ложен. [15]