Cтраница 3
Так как площадь круга радиуса а равна яа2, то полученный результат показывает, что площадь арки циклоиды в три раза больше площади круга. [31]
Последний результат особенно неожиданный: ведь даже для вычисления длины такой простой кривой, как окружность, пришлось вводить иррациональное число зт, вычислить которое не так просто, а длина арки циклоиды выражается через радиус ( диаметр) целым числом. Циклоида обладает и многими другими интересными свойствами, имеющими исключительное значение для физики и техники. В частности, профили зубьев шестерен, очертание многих типов эксцентриков, кулачков и иных деталей машин имеют форму именно циклоиды. [32]
Когда начальная скорость равна 0, формулировка задачи очевидно предполагает, что исходная точка А имеет по крайней мере ту же высоту, что и конечная точка В; но эти две точки могут быть и на одинаковой высоте и тогда брахистохрона будет полной аркой циклоиды. [33]
Циклоида состоит из конгруэнтных арок, каждая из которых соответствует одному полному обороту производящего круга. Когда точка описывает одну полную арку циклоиды, параметр t изменяется от / 0 до t 2я ( фиг. [34]
Циклоида состоит из конгруэнтных арок, каждая из которых соответствует одному полному обороту производящего круга. Когда точка описывает одну полную арку циклоиды, параметр t изменяется от t 0 до t 2тс ( фиг. [35]
В силу симметрии этой дуги относительно прямой к тс а ее центр тяжести лежит на этой прямой и поэтому хс тса. Для определения ординаты ус центра тяжести необходимо знать длину одной арки циклоиды и ее статический момент Кх относительно оси ОХ. [36]
В этой задаче мы видим не только то, что подозреваемые виновны, но также и то, что ими круг виновных исчерпывается. В частности, исключенные нами экстремали, которые содержали более одной арки циклоиды, не могут доставлять минимум, так как они соответствуют в области ( а, т) кривым, содержащим участки, на которых а не равно постоянной. Это ясно показывает, что задача не сводится только к нахождению экстремалей; следует по крайней мере исключить еще те экстремали, которые не доставляют минимума. Позднее мы увидим, что существуют даже задачи, в которых экстремаль, соединяющая две точки, единственна, и все-таки не доставляет искомого минимума. [37]
Отрезок АВ, соединяющий две соседние начальные точки, называется основанием циклоиды; перпендикуляр DF, опущенный из вершины циклоиды на ее основание, - высотой. Дуга, описываемая точкой М между ДВУМЯ соседними начальными точками, называется аркой циклоиды; прямая U V, описываемая центром С производящего круга, - линией центров циклоиды. [38]
Отрезок ABt соединяющий две соседние начальные точки, называется основанием циклоиды; перпендикуляр DF, опущенный из вершины циклоиды на ее основание, - высотой. Дуга, описываемая точкой М между ДВУМЯ соседними начальными точками, называется аркой циклоиды; Прямая UV, описываемая центром С производящего круга-линией центров циклоиды. [39]
Самые высокие положения этой точки находятся посредине между точками возврата и называются вершинами циклоиды. Отрезок же прямой линии между двумя соседними точками возврата, длина которого равна 2пг, называется основанием арки циклоиды. Для циклоиды имеют место, например, такие свойства. [40]