Cтраница 1
Добавление аксиом может сделать неразрешимую теорию разрешимой. Например, как мы уже упоминали, это происходит с теорией групп при добавлении аксиомы коммутативности. [1]
Система ZF получается добавлением аксиомы подстановки ZF9 к системе Z. [2]
Заметим, что при расширении системы аксиом, то есть при добавлении новых аксиом, некоторые недоказуемые ранее положения могут перейти в разряд истинных. Поэтому теорема Геделя не означает, что существуют неразрешимые вопросы. Стоит только добавить несколько аксиом, и вопрос решится с помощью традиционных математических методов. Но спросим себя, откуда возьмутся эти новые аксиомы. Ответ очевиден: оттуда же, откуда появились старые аксиомы, то есть из наблюдений, накопленного опыта, из эксперимента. Что же, математика является экспериментальной наукой. [3]
Гедель ( 1939) показал, что если ZF непротиворечива, то она остается непротиворечивой и после добавления аксиомы выбора и континуум-гипотезы. Отсюда следует, что в ZF невозможно опровергнуть аксиому выбора или континуум-гипотезу. [4]
Гедель ( 1939) показал, что если ZF - непротиворечива, то она остается непротиворечивой и после добавления аксиомы выбора и континуум-гипотезы. Отсюда следует, что в ZF невозможно опровергнуть аксиому выбора или континуум-гипотезу. [5]
Разумеется, эта пара чисел не является парой доказательства MIU, а всего лишь парой доказательства MIU MU, Добавление дополнительной аксиомы ненамного усложнило арифметические свойства пар доказательства. Самое главное их свойство, примитивно-рекурсивность, сохраняется и в новой системе. [6]
Теория Т сигнатуры а с равенством имеет нормальную модель тогда и только тогда, когда она остается непротиворечивой при добавлении аксиом равенства. [7]
Напротив, для математика, работающего в дескриптивной теории множеств, предпочтительнее аксиома детерминированности, решающая многие проблемы из области проективных множеств, которые невозможно ре-щить на базе традиционных теоретико-множественных аксиом, даже с добавлением аксиомы выбора. [8]
Добавление аксиом может сделать неразрешимую теорию разрешимой. Например, как мы уже упоминали, это происходит с теорией групп при добавлении аксиомы коммутативности. [9]
Итак, следует примириться с тем, что любая непротиворечивая система аксиом, а только такими и можно пользоваться, не может дать ответ на все возникающие вопросы. Нечто похожее имеет место в физике элементарных частиц, которая не отвергает предположения о бесконечной сложности материи. Как показывает история физики, расширение наших знаний происходит путем добавления новых физических законов, дополняющих и видоизменяющих старые. Этот процесс аналогичен ( а по сути дела, тождественен) добавлению новых аксиом к той или иной системе старых. Новые аксиомы позволяют однозначно ответить на некоторые ранее неразрешимые вопросы. Теорема Геделя показывает, что сколько бы новых аксиом мы ни добавляли, всегда останутся или возникнут новые неразрешимые вопросы. Важно только, что выводы, получаемые на каждом шаге данного процесса, соответствуют действительности, если этим качеством обладают присоединяемые аксиомы. [10]
Между этими двумя родами выводимых правил имеется следующее важное различие. Прямое правило обязательно остается в силе, если формальная система расширяется за счет присоединения новых аксиом и правил вывода, так как такое правило устанавливает просто, что могут быть построены некоторые выводы, а новые постулаты изменяют ситуацию только тем, что доставляют дополнительные средства для построения тех же выводов. Но вспомогательное правило вывода не обязательно сохраняет силу при добавлении новых постулатов, так как расширение системы может породить новые случаи вспомогательных выводов, и возникает вопрос, существуют ли результирующие выводы, соответствующие этим новым вспомогательным выводам. Большинство вспомогательных правил вывода, которые мы установим ( в частности, все такие правила из настоящей главы), имеют повсюду перед символом Н неопределенное множество исходных формул Г, так что добавление новых аксиом не может вызвать никаких затруднений. Но добавление новых правил вывода порождает новые случаи, которые надо рассматривать при доказательстве рассматриваемого правила вспомогательного вывода. [11]