Cтраница 3
Множество G [ G, G ] называется коммутантом группы С. [31]
Особенно интересен случай, когда множество S пусто. Из теории полей классов следует, что все факторы ряда коммутантов группы ф конечны. Обрывается ли этот ряд, т.е. конечна ли группа 3 - неизвестно. Этот вопрос составляет содержание так называемой проблемы р-башни. [32]
В свободной группе С с k образующими взято множество Я элементов, в которых сумма показателей при каждом образующем равна нулю. Показать, что это множество есть нормальный делитель, именно, коммутант группы G, и найти факторгруппу. [33]
В свободной группе G с k образующими взято множество Н элементов, в которых сумма показателей при каждом образующем равна нулю. Показать, что это множество есть нормальный делитель, именно, коммутант группы G, и найти факторгруппу. [34]
Нти исследования получили дальнейшее развитие ( см. [13]): детально изучено строение и классифицированы максимальные разрешимые и локально ннльпотентные подгруппы в GL ( п, К) над алгебраически замкнутым полем А. И) - нек-рая эффективно определяемая функция от п; в частности, коммутант группы Н является унипотентной группой и, с абстрактной точки зрения, группа Г есть конечное расширение группы / / с нильпотентным коммутантом. [35]
Доказать, что фактор-группа G / N будет абелевой тогда и только тогда, когда W содержит коммутант группы. [36]
К, для которых I 1 не являются топологически нилъпотентиыми, есть ограниченная окрестность нуля в К, инвариантная относительно всех внутренних автоморфизмов. Использовать упражнение 216.1 В содержит тогда все ограниченные окрестности нуля U такие, что UU a U; среди тех из этих окрестностей, которые инвариантны относительно всех внутренних автоморфизмов, имеется наибольшая, совпадающая с В в случае, когда коммутант группы А ограничен и, в частности, когда К коммутативно. [37]
Если множество пусто, то этот вопрос совпадает с известной проблемой башни полей классов, а в общем случае является ее естественным обобщением. В связи с результатами, о которых было сказано выше, этот вопрос приводит к новым вопросам о конечных / - группах. Во всяком случае, удается доказать, что длина ряда коммутантов группы & s неограниченно возрастает, если число образующих этой группы стремится к бесконечности. [38]
Так как G - регулярная группа подстановок, то в разложении g на независимые циклы все циклы имеют одну и ту же длину. Но все четные подстановки из G образуют подгруппу К индекса 2, являющуюся нормальным делителем группы G. Так как фактор-группа G / К абелева, то К содержит коммутант G группы G. Следовательно, G ф G и по утверждению 4 система G Н не 2-транзитивна. [39]
Если G - группа GL ( т, R) невырожденных вещественных матриц m - го порядка, Н - подгруппа диагональных матриц, N ( соответственно N) - подгруппа нижне ( верхне) - треугольных матриц с единицами на главной диагонали, б - подмножество матриц из G, все главные миноры к-рых отличны от нуля, то разложение GUNHN наз. Строгое определение разложения Гаусса требует введения следующих терминов. D ( R), N cD ( R), где D ( X) - коммутант группы X, Я и R - связные разрешимые подгруппы группы G; б) множество GeNHN всюду плотно в G, и разложение NHN однозначно. Если Н - абелева группа, то это разложение наз. [40]
Ввиду разрешимости Н группа HIN также разрешима и содержит нетривиальный абелев нормальный делитель AIN. Группа А нильпотентна, так как ее коммутант лежит внутри центральной подгруппы N. Обозначим через Ат подгруппу, порожденную га-ми степенями всех элементов А. Поскольку элементы коммутанта группы А имеют своими порядками делители т, то Ат лежит в центре Q группы А. Рассматривая прообраз Q в G, мы получим нецентральный абелев нормальный делитель С. Группа А содержит нескалярную матрицу. Все элементы В с этой матрицей перестановочны, и, значит, группа В приводима. [41]
Индуктивно определяются коммутаторы произвольной длины для элементов и аналогично для последовательностей подгрупп. X ] обозначает коммутант группы X. Если Х Х, то группа X называется совершенной. [42]
Классификационная теорема Титса утверждает ( грубо говоря), что группа G определяется ( с точностью до й-изоморфизма) своим анизотропным ядром ( или только его коммутантом), своим классом / - изоморфизма и своим индексом. Не пытаясь дать более точные формулировки, поясним, что такое индекс. Некоторые из корней а е А имеют тривиальные ограничения на S. Если АО - множество таких корней, то А0 образует базу системы корней коммутанта группы Z. Задание А и А0 ( на диаграмме Дынкина системы Ф) составляет некоторую часть понятия индекса. Остальная информация относится к действию на А ( или на диаграмме Дынкина) некоторой группы Галуа, орбиты которой выделяются заключением соответствующих точек диаграммы в кружок. [43]
Согласно определению, ( х, у) 1 тогда и только тогда, когда ух - ху. Таким образом, все коммутаторы группы G равны 1 тогда и только тогда, когда G - абелева группа. Таким образом, можно считать, что коммутаторы указывают, в какой степени рассматриваемая группа отличается от абелевой. Подгруппа G группы G, порожденная всеми коммутаторами х - 1у - 1ху, называется коммутантом группы, или производной подгруппой. Ясно, что G - вполне характеристическая подгруппа. [44]
G существует такая подгруппа N, что G N X Р - Отсюда вытекает справедливость доказываемого утверждения для случая, когда G имеет лишь два различных простых делителя. Ввиду цикличности силовских подгрупп группы G фактор-группа N N циклическая. Это означает, что группа G сверхразрешима. Холл, теорема 10.5.4), коммутант G группы G нильпо-тентен. Так как силовские подгруппы группы G циклические, то G / G и G - циклические группы. [45]