Cтраница 3
Топологическое пространство называют компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. Топологическое пространство называют счетно-компактным, если любое его счетное открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. Если пользуются термином бикомпакт-ность, то счетную компактность называют компактностью. [31]
Другой полезный подход к определению полноты вполне регулярного хаусдорфова пространства связан с рассмотрением максимальной равномерной структуры на нем: если такое равномерное пространство полно, то топологич. Полны по Дьедоняе в точности те пространства, к-рые гомеоморфны замкнутым подпространствам тонологич. В присутствии полноты по Дьедонне в одно свойство сливаются псевдокомпактность, счетная компактность и бикомиактность. Все нараком-пакты полны но Дьедонне, в частности полны по Дьедонне все метрич. Отсюда видно, что из полноты по Дьедонне не следует наличие у пространства свойства Бэра. [32]
Иначе говоря, в пространстве Е, сопряженном сепара-бельному линейному нормированному и снабженном - слабой топологией, каждое ограниченное подмножество М счетно-пред-компактно. Но в силу последней теоремы каждое такое множество есть метризуемое топологическое пространство, а для метрических пространств компактность и счетная компактность совпадают. Таким образом, мы получаем следующий результат. [33]