Cтраница 4
Заметим, что, с одной стороны, совокупность компактных однородных пространств включает в себя большое многообразие топологических типов, а с другой стороны, поведение групп преобразований на данном пространстве, очевидно, сильно зависит от топологического типа данного пространства. Поэтому непохоже, чтобы эта гипотеза была когда-либо доказана единым методом. Необходимость изучать пространства различных топологических типов по отдельности является, вероятно, одной из характеристик, внутренне присущих предмету топологических групп преобразований. G, что dim G Nd ( M), остается неопределенным вплоть до самого конца доказательства. [46]
Читателю предоставляется возможность самому попытаться модифицировать предположения и заключения. Как и в предыдущих параграфах, сам ход доказательства на деле гораздо важнее той конкретной ситуации, в которой мы его применяем. Это доказательство, в сущности, не очень трудное и даже не такое уж новое, если не считать двух-трех моментов. Искушенный читатель задолго до конца доказательства опознает знакомую схему рассуждений; они напоминают не только процесс аналитического продолжения, но даже некоторые стандартные рассуждения из анализа, такие, скажем, как доказательство теоремы Бореля о конечном покрытии для отрезка и плоской фигуры. Впрочем, стандартные доказательства постоянно находят все новые применения. [47]
Рассмотрим сначала частный случай, когда L - коммутативная. Обозначим через Р максимальную компактную подгруппу L. Факторгруппа G / P Н содержит нормальный делитель LIP F, являющийся векторной группой. Рассуждения, приведенные в конце доказательства леммы 1, применимы и здесь, и из них следует, что Н изоморфна полупрямому произведению фактор-группы H / V на V. Следовательно, Н содержит подгруппу Q, изоморфную H / V и такую, что Н QV. [48]
Является ли это доказательством от противного. Но обычно его рассматривают как доказательство от противного. При этом начинают так: Пусть аир - две различные плоскости, проходящие через точки Л, В, С... Вполне естественна склонность поступать именно так. Точно так же можно при любом доказательстве сделать особое предположение, которое, как выяснится к концу доказательства, ложно. Но эта ложность нигде в ходе доказательства не используется. [49]
Для случая п 1 утверждение теоремы тривиально выполняется. Если матрица А неразложима, то теорема 4.7 следует из теоремы Фробениуса - Перрона. Если А имеет вид (4.15), то матрицы А ъ - А3 имеют порядок, меньший п, и к ним применимо индуктивное предположение. Пусть Я Д ц - собственные числа Фробениуса матриц Ai и А3 соответственно, а векторы xAl e R и хАз е Rn - ft - собственные. Положим ЬА - А ХА ( XAV, где 0 обозначает ( га - АО-мерный нулевой вектор. Конец доказательства предоставляем провести читателю. [50]