Cтраница 3
Jd j обращаются в нуль в этой точке. При п1 полный анализ осуществляется методом диаграммы Ньютона. [31]
В пространстве всех аналитических векторных полей с диаграммой Ньютона Г существует открытое всюду плотное множество U Г - невырожденных векторных полей, обладающее следующим свойством. [32]
Тангенс угла между новым направлением линейки и отрицательным направлением оси даст другое возможное значение tga ( pl - р р): ( р - 0 - е-а прямые, проходящие через другие точки ( s, ps) параллельно данному направлению линейки, будут лежать выше, а значит, PJ SS р; - j - el рр - - ер. Выпуклая ломаная, соединяющая точки поворота линейки, называется диаграммой Ньютона. [33]
Нахождение малых решений уравнения (5.4) связано с построением для него убывающего участка диаграммы Ньютона. Иногда достаточно знать вершины ( 0, п0) и ( т0, 0), где т0 ord R ( z2, 0) и п0 - ord R ( О, А), этого убывающего участка, так как они позволяют делать выводы о всех возможных расположениях убывающего участка диаграммы. В связи с этим числа т0 и п0 называются указателями двумерного уравнения разветвления. [34]
В пространстве векторных полей с особой точкой О на R2, имеющих диаграмму Ньютона Г, открытое всюду плотное множество ( дополнение к алгебраическому подмногообразию) состоит из векторных полей, обладающих следующими свойством. Модуль индекса особой точки, поля не превосходит числа целых точек на диаграмме Ньютона, лежащих строго внутри первого координатного угла. [35]
Метод применим при любом числе линейных вещественных множителей. Эйлер выводит также уравнения асимптот и соответствующих бесконечных ветвей кривой. Он оперирует при этом порядками малости или бесконечности, избегает явного применения диаграммы Ньютона и допускает, вероятно, из-за той поспешности, с которой он писал Введение, ряд погрешностей. Шпайзером, который редактировал этот том в Полном собрании сочинений Эйлера, и указаны в нашем издании в примечаниях. Эти погрешности не умаляют достоинства метода, зато творческое возбуждение, которое ощущается в несколько импровизационном стиле Эйлера, делает чтение особенно привлекательным. [36]
Имеются два основных метода вычисления дзета-функции классического преобразования монодромии голоморфного ростка. Один из них основан на формуле А Кампо [1], которая выражает дзета-функцию в терминах разрешения голоморфного ростка. Другой использует формулу Варченко [8], которая выражает дзета-функцию голоморфного ростка в терминах его диаграммы Ньютона. Он может применяться для ростков, не вырожденных по отношению к диаграмме Ньютона. [37]
Главы I и II служат основой всей книги. Они начинаются с изучения задачи о неявных функциях, когда матрица Якоби в соответствующей точке является вырожденной. В связи с этим § § 2 - 6 глав I и II посвящены исследованию уравнения разветвления, играющего важную роль во всех других главах книги. В одномерном случае исследование ведется при помощи диаграммы Ньютона. Дается описание диаграммы Ньютона, обоснование метода исследования при помощи этой диаграммы, а затем на конкретных примерах иллюстрируется, как этот метод приводит к описанию и построению всех малых решений уравнения разветвления. [38]
Имеются два основных метода вычисления дзета-функции классического преобразования монодромии голоморфного ростка. Один из них основан на формуле А Кампо [1], которая выражает дзета-функцию в терминах разрешения голоморфного ростка. Другой использует формулу Варченко [8], которая выражает дзета-функцию голоморфного ростка в терминах его диаграммы Ньютона. Он может применяться для ростков, не вырожденных по отношению к диаграмме Ньютона. [39]
Главы I и II служат основой всей книги. Они начинаются с изучения задачи о неявных функциях, когда матрица Якоби в соответствующей точке является вырожденной. В связи с этим § § 2 - 6 глав I и II посвящены исследованию уравнения разветвления, играющего важную роль во всех других главах книги. В одномерном случае исследование ведется при помощи диаграммы Ньютона. Дается описание диаграммы Ньютона, обоснование метода исследования при помощи этой диаграммы, а затем на конкретных примерах иллюстрируется, как этот метод приводит к описанию и построению всех малых решений уравнения разветвления. [40]
Рассуждения этого и предыдущего параграфов типичны для всей гл. Нетрудно усмотреть слабое место такой методики исследования бесконечных ветвей ( хотя она проста и наглядна): без дополнительного исследования не выявляется порядок бесконечности ( или малости) отдельных слагаемых, поэтому при разложении в ряд для искомой ветви функции необходимо применяться в каждом случае к особенностям данной задачи. VII у него встречаются погрешности. Шпайзером и указаны в дальнейших примечаниях. В следующей главе при исследовании асимптот применяются приемы, равносильные использованию диаграммы Ньютона, и там все в порядке. Эйлер, несомненно, заметил допущенные им в гя. [41]