Cтраница 1
Конечномерность пространства Нп следует теперь из бесконечной дифференцируемости по X функции 5 ( я) 5 ( Х, 6) и из следующего легко проверяемого предложения. [1]
Свойство конечномерности пространства решений тесно связано с разрешимостью неоднородных систем. [2]
Само же свойство конечномерности пространства решений устойчиво к достаточно малым произвольным возмущениям. Для систем с постоянными коэффициентами это следует из того факта, что достаточно малые возмущения регулярного пучка матриц: det ( ХА В) Ф О не меняют его регулярности. Для систем с переменными коэффициентами это будет установлено далее. [3]
Существенным ли является требование конечномерности пространства при доказательстве эквивалентности двух видов сходимости. [4]
Доказательство предложения 1.4.5 не использовало конечномерность пространства, поэтому оно остается в силе и в общем случае. [5]
Очевидно, что для этого достаточно конечномерности пространства X, и этого условия достаточно для большинства приложений. Мы не выясняем того, следует ли финитность X из финитности X, однако это верно в двух важных частных случаях: для компактных пространств и для конечномерных сепарабельных метрических пространств, см. упражнение 3 гл. Итак, будет доказало следующее щ едложенне. [6]
В предыдущих разделах этой главы сформулированы условия, предполагающие конечномерность пространств решений и существование ЛРО. [7]
Результат задачи 6 показывает, что в рассматриваемом случае предположение о конечномерности пространства Кп существенно. [8]
В § 2 - 7 этой главы во всех случаях, когда конечномерность пространства не будет особо оговорена, все рассуждения сохраняют свою силу и для бесконечномерных пространств. [9]
В работе [162] доказательство соответствующего результата носит геометрический характер и принципиально использует конечномерность пространства. Приведенное в монографии доказательство леммы 2.1.1 носит топологический характер и обладает достаточной простотой. [10]
Ситуация упрощается, если матрица А ( X) ( или оператор А ( X) - здесь конечномерность пространства роли не играет) при каждом значении параметра положительна относительно некоторого конуса А ( Л) и имеет в силу одной из теорем гл. [11]
В теории систем ОДУ вида ( 1) они впервые рассмотрены в книге [2] в связи с теорией струй. На основе продолженных систем в работе [82] были получены критерии конечномерности пространств решений. [12]
Разумеется, для доказательства большинства результатов пришлось бы использовать индукцию от бесконечности, как это делалось в доказательстве многих теорем. Это потребует введения ограничения, аналогичного конечномерности пространства X и достаточного для того, чтобы обеспечить равенство Hf ( X, A JXa) 0 для достаточно больших L Мы не будем развивать изложение в этом направлении, так как когомологические результаты по крайней мере не слабее гомологических, и к тому же значительно проще. [13]
Глава содержит теоремы о существовании решений как линейных, так и нелинейных АДС в классическом и обобщенном смысле. Основным условием разрешимости АДС является существование дифференциального оператора, приводящего исходную систему к нормальному виду, называемого ЛРО. В первом разделе обоснованы результаты разрешимости линейных АДС, структура их общих решений, получены критерии конечномерности пространства решений и даны конструктивные алгоритмы вычисления этой размерности. Второй раздел посвящен нелинейным АДС. Приведены несколько известных на настоящее время определений индекса и проведено их сравнение. Обоснованы условия разрешимости и существования ЛРО для нелинейных систем. В третьем разделе строятся обобщенные в смысле Соболева - Шварца решения начальных и краевых задач для линейных АДС. Построена аппроксимация обобщенного решения последовательностью классических решений систем ОДУ в нормальной форме, полученных методом возмущения. [14]
Если сами модули L ч N не просты то в L можно выбрать нетривиальный подмодуль LI, a в N - нетривиальный подмодуль Ni. В силу теоремы 4.3 L4 - NZIN, где N2 - подмодуль в М, содержащий N. Если в этой цепочке модуль NI или какой-либо из фактормодулей M / N2, NZIN, NIN еще не просты, то в нее можно тем же способом вставить еще один подмодуль. Из-за конечномерности пространства М этот процесс не может продолжаться неограниченно. Ms i э Ms 0, у которой все фактормодули М / УИ 1 уже просты. Фактормодули MtfMt i называются факторами этого ряда, а их число s - длиной ряда. [15]