Cтраница 2
Наблюдаются же элементарные частицы, что с точки зрения квантовой теории означает необходимость рассмотрения состояний, собственных для оператора числа частиц. Эти состояния связаны с конструкцией пространства Фока. Классическая теория полей с точки зрения квантовой теории соответствует ситуации, когда относительно некоторого наблюдателя ( средств наблюдения) определено такое состояние квантовой системы, в котором средние значения операторов совпадают с величинами, определяемыми в классической теории. Если бы такое состояние можно было физически реализовать для любого поля, то для соответствующего наблюдателя не было бы ни рождения частиц, ни эффектов, обусловленных нелинейными добавками из-за поляризации вакуума. Однако подобное состояние, требующее рассмотрения нефоковской конструкции пространства состояний, возможно, по-видимому, лишь для электромагнитного поля. [16]
Здесь имеются два приемлемых пути. Самое простое было бы ограничиться подходящими малыми открытыми подмножествами евклидова пространства. Тогда фактормногообразие тоже можно сделать подмножеством некоторого евклидова пространства посредством выбора на нем новых независимых и зависимых переменных. Однако при таком подходе конструкции становятся весьма неприятным образом координатно зависимыми и много теряют в своей изначальной простоте. Более абстрактный подход, принятый нами, состоит в обобщении наших конструкций пространств струй, продолжений и дифференциальных уравнений на произвольные гладкие многообразия. Он осуществляется пополнением обычных пространств струй так, что они включают функции, определенные на произвольных р-мерных подмногообразиях. Эти функции могут быть многозначными или иметь бесконечные производные. Хотя этот метод требует изрядного уровня абстракции и математической изощренности, чтобы дать определения, главные результаты об инвариантных относительно группы решениях сохраняют свой сильный геометрический дух и в том, что касается доказательств, становятся практически тривиальными. Более сложная технически локальная координатная картина непосредственно получается тогда из этой абстрактной переформулировки процедуры редукции. [17]
Особую роль в квантовой теории поля играет понятие вакуума. Вакуум определяет глобальные свойства квантовой системы. Глобальность эта, однако, не должна пониматься чересчур буквально. Так, в теории рождения электрон-позитронных пар, где характерным размером квантового процесса является комптоновская длина волны частицы, свойства вакуума определяются расстояниями, много большими этой длины, но меньше характерного размера внешнего поля. В этом случае автоматически возникает необходимость использования неэквивалентных представлений коммутационных соотношений и нефоковской конструкции пространства состояний. [18]
Метод построения глобального пространства модулей восходит к классической инвариантов теории. Он заключается в следующем. Строится достаточно большое семейство X - - / /, содержащее представителей всех классов эквивалентности изучаемых объектов, причем такое, что отношение эквивалентности на Л сводится к действию алгебраич. Затем развивается теория действия алгебраич. Основным инструментом построения семейства X - - Н является теория Гильберта схем. При таком подходе трудности построения семейства X - - / / сводятся к проблеме одновременного погружения изучаемых объектов в проективное пространство. Важным результатом о возможности такого одновременного погружения является теорема Мацусаки. Трудной проблемой остается и проблема существования фактора H / G. Имеются понятия категорного и геометрич. Конструкция грубого пространства модулей сводится к задаче о существовании геометрич. [19]