Cтраница 3
Отметим, что в приведенных выше определениях операторы не обязательно должны быть самосопряженными или симметричными [ 196, с. Здесь мы требуем это лишь потому, что в самосопряженном случае упрощаются либо формулировки, либо доказательства последующих предложений. [31]
Но Х ( п) / / Х ( п - l) ej o есть в точности тензорное произведение экземпляров алгебры S ( n) ( именно здесь используется условие X ( l l) X ( l) при п 1) и потому допускает структуру алгебры Хопфа. Коумножение в Х ( п) / / Х ( п - 1), будучи отображением алгебр, индуцирует структуру моноида с единицей в каждом члене последовательности изоморфизмов, рассмотренной в нач але доказательства предложения 8.12, и в силу естественности эти изоморфизмы совместимы со структурой моноида. [32]
Тогда множество тех gG1, которые трансверсальны к S в каждой точке М, открыто и плотно. Из доказательства предложения 3.2 следует, что множество тех g p, которые трансверсальны к 5 на Up, открыто. [33]
Ga - С другой стороны, p ( Af) представим в виде полинома от р ( С), перестановочного со всеми элементами из р ( а); тем самым р ( N) перестановочен со всеми элементами из р ( й), так что Af c, поскольку представление р точное. Таким образом, подпространство алгебры а, порожденное элементами N, является идеалом. Вспоминая замечание, сделанное после доказательства предложения 7, мы видим, что Af 0, так что р ( С) полупрост. [34]
Из сочинений Диофанта до нас дошло два: Арифметика и О многоугольных числах, однако оба они сохранились не полностью. Из 13 книг Арифметики, о которых говорит Диофант во введении к этой работе, до нас дошло 6, а конец второго сочинения утрачен. В Арифметике, когда речь идет о теоретико-числовых предложениях, Диофант обычно отсылает к своим Поризмам. Неизвестно, была ли то отдельная книга, или доказательства поризмов были включены в саму Арифметику. Во всяком случае, ни одного доказательства теоретико-числового предложения от Диофанта не дошло. [35]