Cтраница 2
Если при описании какой-либо аксиоматической теории используемая система логических правил предполагается уже известной, мы будем говорить, что эта теория есть неформальная ( содержательная) теория. В математической практике аксиоматические теории обычно описываются в виде неформальных теорий; что же касается предполагаемой при этом логики, то обычно считается, что это та интуитивная логика, которая усваивается в ходе изучения математики. Сказанное отнюдь не имеет характер порочного круга, как это может показаться вначале. Более того, можно привести многочисленные доводы в защиту мнения, согласно которому точное определение логической правильности, выдвигаемое символической логикой, хорошо согласуется с тем интуитивным представлением о строгости рассуждений, которым пользуются математики. Многочисленные примеры, подтверждающие тот тезис, что логические принципы, считающиеся строгими большинством математиков, принимаются в качестве таковых в символической логике ( и наоборот), собраны в книге Дж. На наш взгляд, не будет преувеличением сказать, что в глазах подавляющего большинства математиков современная символическая логика есть попросту формализация того интуитивного способа рассуждений, которого они фактически всегда придерживаются. Это мнение, правда, не выглядит столь убедительным по отношению к тем математикам, которые проводят формальные доказательства и используют для проверки их правильности формальные процедуры исчисления предикатов. Однако и для таких математиков проверка доказательств формальными, механическими методами играет скорее роль некоторой страховки в сложной цепи рассуждений, дополняющей в сложных случаях содержательные методы рассуждений, но не подменяющей их. [16]