Cтраница 3
Можно ли строго математически доказать истинность алгоритма. Дело в том, что задание на построение алгоритма решения действительно важной для практики задачи определяется не формально. Дедуктивное доказательство истинности какого-нибудь предложения может быть проведено только в рамках самой математики. Если понятие алгоритма есть объект математический, то условие задачи содержит нематематические объекты. [31]
Следовательно, существует рекурсия для р через отрицание по умолчанию. В TU-дереве литере р назначается статус успеха и, следовательно, not р в Т - дереве терпит неуспех. Поэтому доказательство истинности р терпит неуспех. [32]
Если в основу модели положена строгая теория, то машинный эксперимент оказывается просто расчетом. В тех же случаях, когда система становится настолько сложной, что невозможно учесть все связи, приходится создавать упрощенные модели системы и проводить машинный эксперимент. Он в любом случае не может служить доказательством истинности модели, поскольку в его основу положена гипотеза, к-рую можно проверить только при сопоставлении результатов моделирования с экспериментами на реальном объекте. Однако роль машинного эксперимента иногда очень важна, ибо в1 результате можно отбросить заведомо ложные варианты либо сравнить по тем или иным критериям разд. [33]
Это обстоятельство нередко пытаются использовать идеалисты. Если то или иное положение можно доказать чисто логическим путем, рассуждают они, то не может быть никакой речи о практике как единственном критерии истины. Более того, они вообще утверждают, что наиболее надежным доказательством истинности научных положений являются логически правильные рассуждения, совершенно не связанные с общественной практикой. [34]
Вторым отрицательным моментом в каталитических работах Оствальда является пренебрежение большим практическим материалом, показывающим образование промежуточных соединений в процессах катализа. Оствальд, конечно, знал работы бутлеровской лаборатории, синтезы Густавсона, Кондакова и других химиков. Видимо, даже выделение индивидуальных промежуточных продуктов он не считал доказательством истинности теории промежуточных соединений, но в принципе никогда не отрицал ее. [35]
Но в таком случае истинность алгоритма проверяется не для поставленной задачи, а для ее модели, что далеко не одно и то же. Математическая модель и алгоритм являются математическими объектами, и поэтому существует объективная возможность доказательства соответствия построенного алгоритма модели. Так как число различных моделей потенциально неограничено, указать основные положения доказательства истинности алгоритма невозможно. [36]
В этом он достиг выдающегося успеха, и мы укажем метод, с помощью которого законы индуцированных токов могут быть выведены из формулы Вебера. Но мы должны заметить, что то обстоятельство, что закон, выведенный из открытого Ампером явления, также может объяснить явление, открытое впоследствии Фарадеем, не слишком много добавляет к доказательству физической истинности закона, как можно было бы предположить вначале. [37]
Непременное свойство формальной математической системы заключается в существовании вычислимого способа решить, является ли некоторая строка символов доказательством соответствующего математического утверждения или нет. Весь смысл формализации понятия математического доказательства в конечном счете сводится к тому, чтобы не требовалось никакого дополнительного суждения о состоятельности того или иного типа рассуждений. Необходимо обеспечить возможность проверять полностью механическим и заранее определенным способом, что предполагаемое доказательство и в самом деле является таковым - то есть должен существовать алгоритм для проверки доказательств. С другой стороны, мы не требуем существования алгоритмической процедуры нахождения доказательств истинности ( или ложности) предлагаемых математических утверждений. [38]
В том случае, когда мы не знаем, откуда берутся и на чем основываются те или иные идеи или утверждения, мы объясняем их здравым смыслом. Дав такое объяснение своим идеям, мы обычно полагаем, что их не нужно проверять, и убеждаем себя в том, что идея или утверждение истинны, так как являются само собой разумеющимися. Это убеждение может объединять людей в коллективном самообмане, предполагающем, что все эти идеи и утверждения всегда могут быть проверены, что в любой момент может быть доказана их истинность. Термин общественный здравый смысл придает значимость и важность различным понятиям ( взглядам, мнениям), не имеющим систематизированных доказательств истинности, на которые можно было бы ссылаться. [39]
В том случае, когда мы не знаем, откуда берутся и на чем основываются те или иные идеи или утверждения, мы объясняем их здравым смыслом. Дав такое объяснение своим идеям, мы обычно полагаем, что их не нужно проверять, и убеждаем себя в том, что идея или утверждение истинны, так как являются само собой разумеющимися. Это убеждение может объединять людей в коллективном самообмане, предполагающем, что все эти идеи и утверждения всегда могут быть проверены, что в любой момент может быть доказана их истинность. Термин общественный здравый смысл придает значимость и важность различным понятиям ( взглядам, мнениям), не имеющим систематизированных доказательств истинности, на которые можно было бы ссылаться. [40]
Представители первой школы предполагают возможным построение непротиворечивой логической схемы мышления индивидуума, применимой для оценки достоверности явлений реального мира. В формулировке Сэвиджа логическая вероятность измеряет степень обоснованности суждений, при которой одно множество предложений по логической необходимости и независимо от человеческого мнения подтверждает истинность другого. Отсюда ясно, что предполагается исключение человека, принимающего решение, из процесса самой оценки достоверности рассматриваемого события. Определение степени подтверждения должно быть получено по правилам индуктивной логики, какие бы они не были. Построить непротиворечивую логическую схему доказательств истинности суждений при естественных недостатке и неточности знаний о предмете суждения обычно не представляется возможным. Неизбежно степень достоверности доказательств оценивается человеком. Отсюда ясна несостоятельность такого подхода. [41]
Результаты подсчетов ответов оформляются в виде таблиц или графиков, рисунков. Числовые значения результатов исследования составляют исходный материал для обобщения и выводов. Вместе с тем исходная позиция исследователя при интерпретации данных строго предопределяется задачами исследования, методической программой рабочими гипотезами. Участники игры в процессе интерпретации эмпирических данных вносят в них содержательный смысл, проверяют рабочие гипотезы. В общем случае логика доказательства истинности ( или ложности) гипотез основана на поиске взаимосвязей между характеристиками объекта, выявлении тенденций и причин возникающих изменений в его состоянии. [42]
Допустим, мы предположили, что А истинно, и хотим доказать истинность заключения С J D. Разумеется, можно прямо в лоб доказать истинность С или истинность D. Тем самым истинность дизъюнкции С V D будет, конечно, доказана. В самом деле, неизвестно, С или D истинно на самом деле. Поэтому неизвестно, истинность С или истинность D надо пытаться доказывать. Будешь биться над доказательством истинности С, а, может быть, на самом деле истинно не С, a D. Более удобным, чаще всего встречающимся путем доказательства дизъюнкции является тот путь, который указывается равносильностью ( III) из четвертой группы. Дизъюнкция С V D равносильна импликации - С - D, а как надо доказывать импликацию, мы уже знаем. С ложно, и вывести из этого предположения, что D истинно. [43]
Путь, ведущий к преодолению этой трудности, основан на ограничении числа применений 7 - пРавила ПРИ доказательстве методом таблиц. Для этого используется метод Q-depth, заключающийся в следующем. Когда 7 - пРавило было применено максимальное число раз, которое определяется заранее в виде значения Q-depth, оно может больше никогда не применяться. Таким образом, используя метод Q-depth, можно построить замыкание расширения таблицы ( ни одно из правил не может быть применено), за конечное число шагов, и далее переходить к этапу тестирования замыкания. Таким образом, доказательства являются конечными. Если выражение X является доказуемым, то имеется доказательство, в котором сделано конечное число применений 7 - пРавила - Следовательно, если X является истинным, то оно будет доказуемо, если использовать метод Q-depth. В принципе применяя каждый раз большее значение для метода Q-depth, можно получить доказательство истинности любого выражения при условии игнорирования проблемы временной сложности и ограниченного объема памяти. С другой стороны, ложность выражения эквивалентна его недоказуемости на основе метода Q-depth любой размерности, и это никогда не может быть выполнено, даже если будет сделано бесконечное число шагов. [44]
Приняв два предположения - согласно первому бутерброд ничего не стоит, согласно второму - бисквит выдается в виде бесплатного приложения к лимонаду и бутербродам ( если бы хоть одно из этих предположений соответствовало действительности, в кондитерскую нельзя было бы пробиться. Бальбус получает, что завтрак Клары стоил 8 пенсов, а завтрак старушек - 19 пенсов независимо от принятой гипотезы. Отсюда в соответствии со своим правилом Бальбус заключил, что обнаруженное совпадение доказывает правильность полученных результатов. Я опровергну правило Бальбуса, указав всего лишь один пример, в котором это правило нарушается. Для того чтобы опровергнуть любое утверждение, одного противоречащего примера вполне достаточно. Если воспользоваться специальной логической терминологией, то можно сказать, что для опровержения общеутвердительного суждения достаточно опровергнуть противоположное ему частноотрица-тельное суждение. Здесь необходимо остановиться и совершить небольшой экскурс в логику вообще и в женскую логику в частности. Общеутвердительное суждение Все говорят, что такой-то и такой-то - мокрая курица мгновенно опровергается доказательством истинности частно-отрицательного суждения Пнтер говорит, что такой-то и такой-то - гусь лапчатый, эквивалентного суждению Питер не говорит, что такой-то и такой-то - мокрая курица. Общеотрицательное суждение Никто не бывает у нее великолепно парируется частноутвердительным суждением Я был у нее вчера. Короче говоря, любое из двух противоположных суждений опровергает другое. [45]