Cтраница 2
В данном разделе предлагается простой способ вывода необходимых условий оптимальности первого и второго порядков для общих дискретных задач управления циклическими адсорбционными процессами. Он основан на известных результатах нелинейного программирования и в отличие от традиционных подходов [62] предъявляет минимальные требования гладкости к данным задачи оптимизации. Доказательство принципа максимума, как и необходимых условий оптимальности второго порядка, проводится по одной схеме [63, 72]: по части ограничений задачи строится варьированное семейство, содержащее исследуемый допустимый процесс; по остальным ограничениям формируется вспомогательная задача нелинейного программирования с известным решением; для данного решения записываются и потом расшифровываются локальные условия экстремума первого или второго порядка и затем устанавливается существование универсальных множителей Лагранжа, не зависящих от способа построения варьированного семейства. [16]
Поэтому при оптимальном управлении направление движения изображающей точки такое, что векторы if и х ортогональны. Вспомогательный вектор обеспечивает нужное направление движения изображающей точки в фазовом пространстве. При доказательстве принципа максимума используется не обычная, а так называемая игольчатая вариация функции управления. Приращение функционала качества при этом бесконечно малое, и обращается оно в нуль, если вариация рассматривается относительно оптимального управления. Из этого условия выводится принцип максимума. [17]
Эта глава посвящена изложению теории нелинейных оптимальных быстродействий. Как и в предыдущей главе, принцип максимума остается основным, стержневым результатом, вокруг которого группируется все дальнейшее содержание главы. Доказательство принципа максимума в общем случае принадлежит автору; оно и является содержанием начальных двух параграфов этой главы. [18]
Математическая теория оптимального управления возникла недавно. Центральным ее стержнем служит принцип максимума и связанный с ним круг исследований, которые проведены коллективом математиков, возглавляемым академиком Львом Семеновичем Понтрягиным. Поэтому указанная теорема и близкие к ней пользуются во всем мире заслуженной известностью под названием принципа максимума Понтрягина. Доказательство принципа максимума для нелинейных систем, как и ряд дальнейших результатов об оптимальных процессах в общем нелинейном случае ( главы III - IV), принадлежат автору. Следует также отметить интересные работы академика Н. Н. Красов-ского, чехословацкого математика Я - Курцвейля и др. Наконец, нужно вспомнить об исследованиях А. А. Фельд-баума, одного из пионеров и энтузиастов этой новой области. [19]
В этой главе излагается минимальный теоретический материал, необходимый и достаточный для понимания всего остального, составляющего основное содержание книги. Тем, кто знаком с математической теорией оптимального управления, полезно познакомиться с этой главой, чтобы привыкнуть к принятой в книге терминологии и системе обозначений. Читатель, не разбиравший подробно первых глав этой монографии и знакомый с теорией по упрощенным изложениям в руководствах сугубо прикладного направления ( или совсем незнакомый с ней), должен основательно усвоить хотя бы содержание § § 1 - 7; без этого трудно будет понять все остальное. Это связано с существом дела. Читатель убедится, что математические тонкости доказательства принципа максимума, которые мы специально выделяем и подчеркиваем в § § 5, 6, имеют самое прямое отношение к приближенному решению задач. Кстати, из многих известных сейчас схем доказательства принципа максимума ( так же, как и других приведенных в книге теорем) автор специально отобрал не самые краткие, общие и изящные, но те, которые более или менее явно индуцируют методы приближенного решения. [20]
В этой главе излагается минимальный теоретический материал, необходимый и достаточный для понимания всего остального, составляющего основное содержание книги. Тем, кто знаком с математической теорией оптимального управления, полезно познакомиться с этой главой, чтобы привыкнуть к принятой в книге терминологии и системе обозначений. Читатель, не разбиравший подробно первых глав этой монографии и знакомый с теорией по упрощенным изложениям в руководствах сугубо прикладного направления ( или совсем незнакомый с ней), должен основательно усвоить хотя бы содержание § § 1 - 7; без этого трудно будет понять все остальное. Это связано с существом дела. Читатель убедится, что математические тонкости доказательства принципа максимума, которые мы специально выделяем и подчеркиваем в § § 5, 6, имеют самое прямое отношение к приближенному решению задач. Кстати, из многих известных сейчас схем доказательства принципа максимума ( так же, как и других приведенных в книге теорем) автор специально отобрал не самые краткие, общие и изящные, но те, которые более или менее явно индуцируют методы приближенного решения. [21]
И, наконец, последнее - проблема строгости изложения. Математика не случайно сделалась эталоном мышления. Этим она обязана представлению о строгости, которое вырабатывалось веками и, конечно, как-то все время деформировалось под натиском нового материала и расширения круга сеоих задач. Поэтому университетская традиция все и вся доказывать на первых курсах абсолютно необходима: студент должен усвоить эти эталоны. Но все имеет свои разумные пределы. Интуиция, опыт - все то, что обычно называется здравым смыслом или неформальным мышлением, - - в такой же мере имеют законное право на существование при анализе математических задач, как и все прочее. Основные трудности в доказательствах обычно связаны со стремлением включить в теорию все возможные патологические случаи, чтобы обеспечить достаточную общность. Именно поэтому прозрачные в своей основе исходные идеи постепенно обрастают тяжелыми и трудными подробностями. Однако иногда даже незначительное сужение класса рассматриваемых задач принципиально упрощает доказательство. Так, например, замена предположения об измеримости решений предположением об их кусочной непрерывности делает доказательство принципа максимума совершенно элементарным. Подобный принцип нами всюду проводится. Если угодно, целый ряд доказательств заменяется их показательствами, и за этот счет изложение качественно упрощается. [22]